Question

12．已知函數(shù)f（x）=（2-a）lnx+$\frac{1}{x}$+2ax（a∈R）．
（1）若f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線經(jīng)過原點(diǎn)，求a的值；
（2）當(dāng)a≤0時(shí)，求f（x）的極值．

Answer 1

分析 （1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，求出切點(diǎn)，由題意可得方程，即可解得a=4；
（2）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分解因式，再由x＞0，a≤0，即可判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而判斷極值的存在．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=（2-a）lnx+$\frac{1}{x}$+2ax的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=$\frac{a-2}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$+2a，
f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為k=a-2-1+2a=3a-3，
由f（1）=1+2a，可得切點(diǎn)為（1，1+2a），
由題意可得3a-3=1+2a，解得a=4；
（2）f′（x）=$\frac{a-2}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$+2a=$\frac{2a{x}^{2}+（a-2）x-1}{{x}^{2}}$
=$\frac{（2x+1）（ax-1）}{{x}^{2}}$，（x＞0），
當(dāng)a≤0時(shí)，x＞0則ax-1＜0，2x+1＞0，
即有f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）遞減，
則當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）無極值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．