Question

選修4.1：幾何證明選講
如圖所示，己知D為△ABC的BC邊上一點(diǎn)，⊙O₁經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，D，交AB于另一點(diǎn)E⊙O₂經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，D，交AC于另一點(diǎn)F，⊙O₁與⊙O₂的另一交點(diǎn)為G
（Ⅰ）求證：A、E、G、F四點(diǎn)共圓
（Ⅱ）若AG切⊙O₂于G，求證：∠AEF=∠ACG．

Answer 1

考點(diǎn)：圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)與判定,圓的切線的性質(zhì)定理的證明

專題：選作題,立體幾何

分析：（Ⅰ）連接GD，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可得∠AEG=∠BDG，∠AFG=∠CDG，從而可得∠AEG+∠AFG=180°，即可證明A、E、G、F四點(diǎn)共圓；
（Ⅱ）A、E、G、F四點(diǎn)共圓，可得∠AEF=∠AGF，由AG切⊙O₂于G，可得∠AGF=∠ACG，從而可得結(jié)論．

解答： 證明：（Ⅰ）連接GD．
∵四邊形BDGE，CDGF是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠AEG=∠BDG，∠AFG=∠CDG
∵∠BDG+∠CDG=180°，
∴∠AEG+∠AFG=180°，
∴A、E、G、F四點(diǎn)共圓；
（Ⅱ）∵A、E、G、F四點(diǎn)共圓，
∴∠AEF=∠AGF，
∵AG切⊙O₂于G，
∴∠AGF=∠ACG，
∴∠AEF=∠ACG．

點(diǎn)評(píng)：本題以三角形內(nèi)角和與圓內(nèi)接四邊形為例，考查了與圓有關(guān)的角相等和角互補(bǔ)的證明，屬于基礎(chǔ)題．