Question

設(shè)關(guān)于x的一元二次方程ax²-2bx+a=0（a，b∈R）
（Ⅰ）若a是集合{1，2，3}中任取一個(gè)元素，b是從集合{1，2，3}中任取一個(gè)元素，求上述方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根的概率．
（Ⅱ）若a是從區(qū)間（0，3）任取的一個(gè)實(shí)數(shù)，b是從區(qū)間（0，2）任取的一個(gè)實(shí)數(shù)，求上述方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：計(jì)算題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）為古典概型，只需列舉出所有的基本事件和符合條件的基本事件，作比值即可；
（Ⅱ）為幾何概型，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用幾何概型的概率公式求出相應(yīng)的面積即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵a為取集合{1，2，3}中任一個(gè)元素，b為取集合{1，2，3}中任一個(gè)元素，
∴a，b的取值的情況有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2）（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）．其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值，第二個(gè)數(shù)表示b的取值，即基本事件總數(shù)為：9．
設(shè)“方程f（x）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根”為事件A，
當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，方程f（x）=0有兩個(gè)不相等實(shí)根的充要條件為：a＞2b．
當(dāng)a＞2b時(shí)，a，b取值的情況有（3，1），即A包含的基本事件數(shù)為：1，
∴方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根的概率

1

9

．
（Ⅱ）若a從區(qū)間（0，3）中任取一個(gè)數(shù)，b從區(qū)間（0，2）中任取一個(gè)數(shù)，
則0＜a＜3且0＜b＜2，對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)榫匦�，面積S=3×2=6，
方程f（x）=0沒(méi)有實(shí)根，則△=4b²-4a²＜0，即b²＜a²，∴b＜a，
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
則B（2，2），C（3，2），D（3，0），
則題型BCDO的面積S=

1+3

2

×2=4
則由幾何概型的概率公式可得方程f（x）=0沒(méi)有實(shí)根

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查概率的計(jì)算，根據(jù)古典關(guān)系和幾何概型的概率公式是解決本題的關(guān)鍵．