Question

已知α∈[

π

6

，

π

4

]，且關于x的方程x²sinα-xcosα+k=0有唯一實數(shù)解．
（Ⅰ）求實數(shù)k的取值范圍；
（Ⅱ）設該方程的唯一實數(shù)解為β，若α＜tβ恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用

專題：函數(shù)的性質及應用,三角函數(shù)的圖像與性質,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）由題意△=cos²α-4ksinα=0，得k=

1-sin2α

4sinα

，又sinα∈[

1

2

，

2

2

]，可解得k的范圍．
（Ⅱ）由題意可得(x-

cosα

2sinα

)2=0，有α＜t

cosα

2sinα

恒成立，由于不等式α恒大于0，

cosα

2sinα

隨α增大而減小，因此只需α=

π

4

時不等式成立即可，從而解得實數(shù)t的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵二次函數(shù)有唯一解，判別式為0，即△=cos²α-4ksinα=0，
∴k=

cos2α

4sinα

=

1-sin2α

4sinα

，又sinα∈[

1

2

，

2

2

]，
∴k∈[

2

8

，

3

8

]．
（Ⅱ）方程有唯一實數(shù)解，從而推得(x-

cosα

2sinα

)2=0，即有β=

cosα

2sinα

，
∴α＜t

cosα

2sinα

恒成立，由于不等式α恒大于0，

cosα

2sinα

隨α增大而減小，因此只需α=

π

4

時不等式成立即可，
∴

π

4

＜

t

2

，
∴可解得：t＞

π

2

．

點評：本題主要考察了函數(shù)的性質及應用，不等式的解法及應用，三角函數(shù)的圖象與性質，綜合性強，考察了轉化思想，屬于難題．