Question

已知點(diǎn)F（1，0）和直線l₁：x=-1，直線l₂過直線l₁上的動(dòng)點(diǎn)M且與直線l₁垂直，線段MF的垂直平分線l與直線l₂相交于點(diǎn)P．
（I）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（II）設(shè)直線PF與軌跡C相交于另一點(diǎn)Q，與直線l₁相交于點(diǎn)N，求

NP

•

NQ

的最小值．

Answer 1

分析：（I）由題意可得，點(diǎn)P到點(diǎn)F（1，0）的距離等于點(diǎn)P到直線l₁：x=-1的距離，由拋物線的定義可得點(diǎn)P的軌跡是拋物線，從而求得方程．
（II）把直線PF的方程y=k（x-1）代入y²=4x化簡(jiǎn)，把根與系數(shù)的關(guān)系代入

NP

•

NQ

=|

NP|

•|

NQ

|=

1+k2

|x1+1|•

1+k2

|x2+1| 化簡(jiǎn)，再利用基本不等式求得

NP

•

NQ

的最小值．

解答：解：（I）連接PF，∵M(jìn)F的中垂線l交l₂于點(diǎn)P，∴|PF|=|PM|，即點(diǎn)P到點(diǎn)F（1，0）的距離等于
點(diǎn)P到直線l₁：x=-1的距離，由拋物線的定義可得點(diǎn)P的軌跡C是以F為焦點(diǎn)，以直線l₁：x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，
方程為 y²=4x．
（II）把直線PF的方程y=k（x-1）代入y²=4x可得 k²x²-（2k²+4）x+k²=0，k≠0，且△＞0．
且x₁+x₂=

2k2+4

k2

，x₁•x₂=1．∵

NP

和

NQ

 同向，N（-1，-2k），
∴

NP

•

NQ

=|

NP|

•|

NQ

|=

1+k2

|x1+1|•

1+k2

|x2+1|=（1+k²）（x₁•x₂+x₁+x₂+1 ）
=4（k²+

1

k2

+2）≥16，當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時(shí)，等號(hào)成立．
∴

NP

•

NQ

的最小值為16．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的定義，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，基本不等式的應(yīng)用，得到

NP

•

NQ

=|

NP|

•|

NQ

|=

1+k2

|x1+1|•

1+k2

|x2+1| 是解題的關(guān)鍵．