Question

15．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線與圓C：x²+y²-6x+1=0相交于A，B兩點，且|AB|=4，則該雙曲線離心率等于（　�。�

• A． $\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程，圓的圓心與半徑，利用體積推出ab關(guān)系式，然后求解離心率即可．

解答 解：由題意可知雙曲線的一條漸近線方程為：bx+ay=0，
圓C：x²+y²-6x+1=0的圓心（3，0），半徑為：2$\sqrt{2}$，
雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線與圓C：x²+y²-6x+1=0相交于A，B兩點，且|AB|=4，
可得$（\frac{3b}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}）^{2}+{2}^{2}=8$，
$\begin{array}{c}\frac{9^{2}}{{a}^{2}+^{2}}=4，\end{array}\right.$
即：5b²=4a²，
可得5（c²-a²）=4a²，
解得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計算能力．