如圖,在三棱錐S-ABC中,∠SAB=∠SAC=∠ABC=90°,SA=AB,SB=BC.
(Ⅰ)證明:平面SBC⊥平面SAB;
(Ⅱ)求二面角A-SC-B的平面角的正弦值.
見解析.
【解析】本試題主要考查了立體幾何中三棱錐中關(guān)于面面垂直的判定和二面角的求解綜合試題,通過線面垂直來判定面面垂直,而二面角的求解可以建立空間直角坐標(biāo)系,借助于平面的法向量來完成,也可以通過三垂線定理求作二面角,借助于平面的直角三角形求解得到。
解:(Ⅰ)平面SBC⊥平面SAB.理由如下:
因?yàn)椤蟂AB=∠SAC=90°,
所以SA⊥AB,SA⊥AC,
所以SA⊥底面ABC. ………………………………2分
又BC在平面ABC內(nèi),所以SA⊥BC.
又AB⊥BC,所以BC⊥平面SAB. ………………………………4分
因?yàn)锽C在平面SBC內(nèi),所以平面SBC⊥平面SAB. ………6分
(Ⅱ)作AD⊥SB,垂足為D.
由(Ⅰ)知平面SBC⊥平面SAB,
則有AD⊥平面SBC. …………8分
作AE⊥SC,垂足為E,連結(jié)DE,
則∠AED為二面角A-SC-B的平面角. ………10分
設(shè)SA=AB=2,則SB=BC =,AD=,
AC=,SC=4,可求得AE=.
所以二面角A-SC-B的平面角的正弦值為.……13分
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