Question

【題目】如圖1，四邊形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2CD=4，AD=2，過點C作CO⊥AB，垂足為O，將△OBC沿CO折起，如圖2使得平面CBO與平面AOCD所成的二面角的大小為θ（0＜θ＜π），E，F(xiàn)分別為BC，AO的中點
（1）求證：EF∥平面ABD
（2）若θ= ，求二面角F﹣BD﹣O的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：過點E作EH∥BD，交CD于點H，連結(jié)HF，

則H為CD中點，∴HF∥AD

∵AD平面ABD，HF平面ABD，

∴HF∥平面ABD，

同理，EH∥平面ABD，

∵EH∩HF=H，∴平面EHF∥平面ABD，

∵EF平面EHF，∴EF∥平面ABD

（2）解：由題得平面CBO與平面AOCD所成二面角的平面角為∠BOA=θ，

連結(jié)BF，∵θ= ，OB=2，OF=1，∴BF⊥AO，

以點F為坐標(biāo)原點，以FO，F(xiàn)H，F(xiàn)B分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則F（0，0，0），B（0，0， ），D（﹣1，2，0），O（1，0，0），

設(shè)平面FBD的法向量 =（x，y，z），

則 ，取x=2，解得 =（2，﹣1，0）

同理得平面BDO的一個法向量 =（ ，1），

設(shè)二面角F﹣BD﹣O的平面角為α，

cosα= = = ，

∴二面角F﹣BD﹣O的余弦值為 ．

【解析】（1）過點E作EH∥BD，交CD于點H，連結(jié)HF，推導(dǎo)出平面EHF∥平面ABD，由此能證明EF∥平面ABD．（2）由題得平面CBO與平面AOCD所成二面角的平面角為∠BOA=θ，連結(jié)BF，以點F為坐標(biāo)原點，以FO，F(xiàn)H，F(xiàn)B分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角F﹣BD﹣O的余弦值．
【考點精析】掌握直線與平面平行的判定是解答本題的根本，需要知道平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．