【題目】設定義在R上的可導函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x),若f(3)=1,且3f(x)+xf′(x)>ln(x+1),則不等式(x﹣2017)3f(x﹣2017)﹣27>0的解集為(
A.(2014,+∞)
B.(0,2014)
C.(0,2020)
D.(2020,+∞)

【答案】D
【解析】解:定義在R上的可導函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x),3f(x)+xf′(x)>ln(x+1), 所以3x2f(x)+x3f′(x)>x2ln(x+1)>0(x>0),可得[x3f(x)]′>0,
所以函數(shù)g(x)=x3f(x)在(0,+∞)是增函數(shù),
因為(x﹣2017)3f(x﹣2017)﹣27>0,且f(3)=1,
所以(x﹣2017)3f(x﹣2017)>33f(3),即g(x﹣2017)>g(3),
所以x﹣2017>3,解得x>2020.
則不等式(x﹣2017)3f(x﹣2017)﹣27>0的解集為:(2020,+∞).
故選:D.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用基本求導法則和利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握若兩個函數(shù)可導,則它們和、差、積、商必可導;若兩個函數(shù)均不可導,則它們的和、差、積、商不一定不可導;一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知圓,,直線.

(1)求與圓相切,且與直線垂直的直線方程

(2)在直線為坐標原點),存在定點(不同于點),滿足:對于圓上任一點,都有為一常數(shù),試求所有滿足條件的點的坐標.

【答案】(1)(2)答案見解析.

【解析】試題分析:

(1)設所求直線方程為,利用圓心到直線的距離等于半徑可得關(guān)于b的方程,解方程可得,則所求直線方程為

(2)方法1:假設存在這樣的點,由題意可得,,然后證明為常數(shù)為即可.

方法2:假設存在這樣的點,使得為常數(shù),則,據(jù)此得到關(guān)于的方程組,求解方程組可得存在點對于圓上任一點,都有為常數(shù).

試題解析:

(1)設所求直線方程為,即,

∵直線與圓相切,∴,得,

∴所求直線方程為

(2)方法1:假設存在這樣的點,

為圓軸左交點時,

為圓軸右交點時,

依題意,,解得,(舍去),或.

下面證明點對于圓上任一點,都有為一常數(shù).

,則,

,

從而為常數(shù).

方法2:假設存在這樣的點,使得為常數(shù),則,

,將代入得,

,即

恒成立,

,解得(舍去),

所以存在點對于圓上任一點,都有為常數(shù).

點睛:求定值問題常見的方法有兩種:

(1)從特殊入手,求出定值,再證明這個值與變量無關(guān).

(2)直接推理、計算,并在計算推理的過程中消去變量,從而得到定值.

型】解答
結(jié)束】
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【題目】已知函數(shù)的導函數(shù)為,其中為常數(shù).

(1)當的最大值,并推斷方程是否有實數(shù)解

(2)若在區(qū)間上的最大值為-3,的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知橢圓E: + =1(a>b>0)的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的3個頂點,直線l:y=﹣x+3與橢圓E有且只有一個公共點T.
(Ⅰ)求橢圓E的方程及點T的坐標;
(Ⅱ)設O是坐標原點,直線l′平行于OT,與橢圓E交于不同的兩點A、B,且與直線l交于點P.證明:存在常數(shù)λ,使得|PT|2=λ|PA||PB|,并求λ的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知曲線上任意一點到直線的距離是它到點的距離的2倍.

(1) 求曲線的方程;

(2) 過點的直線與曲線交于兩點.若的中點,求直線的斜率.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】14分)已知a,b為常數(shù),且a≠0,函數(shù)fx=﹣ax+b+axlnx,fe=2e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)).

I)求實數(shù)b的值;

II)求函數(shù)fx)的單調(diào)區(qū)間;

III)當a=1時,是否同時存在實數(shù)mMmM),使得對每一個t∈[m,M],直線y=t與曲線y=fx)(x∈[,e])都有公共點?若存在,求出最小的實數(shù)m和最大的實數(shù)M;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖1,四邊形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,AB=2CD=4,AD=2,過點C作CO⊥AB,垂足為O,將△OBC沿CO折起,如圖2使得平面CBO與平面AOCD所成的二面角的大小為θ(0<θ<π),E,F(xiàn)分別為BC,AO的中點
(1)求證:EF∥平面ABD
(2)若θ= ,求二面角F﹣BD﹣O的余弦值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C的極坐標方程為ρ2﹣2ρcosθ﹣4=0
(1)若直線l與曲線C沒有公共點,求m的取值范圍;
(2)若m=0,求直線l被曲線C截得的弦長.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知F1 , F2是雙曲線C1 =1(a>0,b>0)的左、右焦點,且F2是拋物線C2:y2=2px(p>0)的焦點,P是雙曲線C1與拋物線C2在第一象限內(nèi)的交點,線段PF2的中點為M,且|OM|= |F1F2|,其中O為坐標原點,則雙曲線C1的離心率是(
A.2+
B.1+
C.2+
D.1+

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知三次函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx+d(a,b,c∈R)過點(3,0),且函數(shù)f(x)在點(0,f(0))處的切線恰好是直線y=0.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)設函數(shù)g(x)=9x+m﹣1,若函數(shù)y=f(x)﹣g(x)在區(qū)間[﹣2,1]上有兩個零點,求實數(shù)m的取值范圍.

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