Question

已知數(shù)列{a_n}中，a1=1，a2=-2，an+2=-

1

an

，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，則S₂₀₁₀=

-754

．

Answer 1

分析：列出數(shù)列的前幾項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)數(shù)列{a_n}是周期為4的周期數(shù)列．因此只要將S₂₀₁₀表示成前4項(xiàng)和的502倍，再加上a₁+a₂的值，即可得到它的值．

解答：解：∵an+2=-

1

an

，
∴a3=-

1

a1

=-1，a4=-

1

a2

=

1

2

，a5=-

1

a3

=1=a₁，a6=-

1

a4

=-2=a₂，…
由此發(fā)現(xiàn)，數(shù)列{a_n}滿足an+4=-

1

an+2

=an，是周期為4的周期數(shù)列．
∴S₂₀₁₀=（a₁+a₂+a₃+a₄）+（a₅+a₆+a₇+a₈）+…+（a₂₀₀₅+a₂₀₀₆+a₂₀₀₇+a₂₀₀₈）+a₂₀₀₉+a₂₀₁₀
=502（a₁+a₂+a₃+a₄）+（a₁+a₂）=502（1-2-1+

1

2

）+（1-2）=-754
故答案為：-754

點(diǎn)評(píng)：本題給出數(shù)列的前2項(xiàng)和遞推公式，叫我們求它的2010項(xiàng)的和，考查了進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理和數(shù)列求和等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．