Question

【題目】設首項為1的正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn ， 且Sn+1﹣3Sn=1．
（1）求證：數(shù)列{an}為等比數(shù)列；
（2）數(shù)列{an}是否存在一項ak ， 使得ak恰好可以表示為該數(shù)列中連續(xù)r（r∈N* ， r≥2）項的和？請說明理由；
（3）設 ，試問是否存在正整數(shù)p，q（1＜p＜q）使b1 ， bp ， bq成等差數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的數(shù)組（p，q）；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵Sn+1﹣3Sn=1，

∴當n≥2時，Sn﹣3Sn﹣1=1，

兩式相減得：an+1=3an，

又∵Sn+1﹣3Sn=1，a1=1，

∴a2=S2﹣S1=2a1+1=3滿足上式，

∴數(shù)列{an}是首項為1、公比為3的等比數(shù)列

（2）解：結(jié)論：不存在滿足題意的項ak；

理由如下：

由（1）可知an=3n﹣1，Sn= = （3n﹣1），

假設數(shù)列{an}中存在一項ak，使得ak恰好可以表示為該數(shù)列中連續(xù)r（r∈N*，r≥2）項的和，

則3k﹣1=Sr+t﹣St= （3r+t﹣1）﹣ （3t﹣1）= （3r+t﹣3t）= 3t（3r﹣1），

于是 （3r﹣1）=3x（其中x為大于1的自然數(shù)），

整理得：3r﹣x﹣ =2，

顯然r無解，故假設不成立，

于是不存在滿足題意的項ak

（3）解：結(jié)論：存在唯一的數(shù)組（p，q）=（2，3）滿足題意；

理由如下：

由（1）可知bn= ，

假設存在正整數(shù)p，q（1＜p＜q）使b1，bp，bq成等差數(shù)列，

則2bp=b1+bq，即2 = + ，

整理得：2p3q﹣p=3q﹣1+q，

∴q=2p3q﹣p﹣3q﹣1=3q﹣p（2p﹣3p﹣1），

∵當p≥3時2p﹣3p﹣1＜0，

∴當p≥3時不滿足題意，

當p=2時，2 = + 即為： = + ，

整理得： = ，解得：q=3，

綜上所述，存在唯一的數(shù)組（p，q）=（2，3）滿足題意．

【解析】（1）通過Sn+1﹣3Sn=1與Sn﹣3Sn﹣1=1作差可知an+1=3an（n≥2），進而可知數(shù)列{an}是首項為1、公比為3的等比數(shù)列；（2）通過（1）可知an=3n﹣1、Sn= （3n﹣1），假設存在滿足題意的項ak ， 則3k﹣1=Sr+t﹣St ， 進而化簡可知不存在r滿足3r﹣x﹣ =2，進而可得結(jié)論；（3）通過（1）可知bn= ，假設存在正整數(shù)p，q（1＜p＜q）使b1 ， bp ， bq成等差數(shù)列，通過化簡可知q=3q﹣p（2p﹣3p﹣1），利用當p≥3時2p﹣3p﹣1＜0可知當p≥3時不滿足題意，進而驗證當p=2時是否滿足題意即可．
【考點精析】本題主要考查了等比關系的確定和數(shù)列的前n項和的相關知識點，需要掌握等比數(shù)列可以通過定義法、中項法、通項公式法、前n項和法進行判斷；數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關系才能正確解答此題．