【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知P點(diǎn)到兩定點(diǎn)D(﹣2,0),E(2,0)連線斜率之積為-
(1)求證:動(dòng)點(diǎn)P恒在一個(gè)定橢圓C上運(yùn)動(dòng);
(2)過 的直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn),過O的直線交橢圓C于M,N兩點(diǎn),若直線AB與直線MN斜率之和為零,求證:直線AM與直線BN斜率之和為定值.

【答案】
(1)證明:設(shè)P(x,y),由題意可得kPDkPE=﹣

即有 =﹣ ,

化為 =1


(2)解:設(shè)過F的直線為x=my+ ,

代入橢圓方程x2+2y2=4,

可得(2+m2)y2+2 my﹣2=0,

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

即有y1+y2=﹣ ,y1y2=﹣

x1=my1+ ,x2=my2+ ,

由題意可得,過O的直線x=﹣my交橢圓C于M,N兩點(diǎn),

解得M(﹣ ),N( ,﹣ ),

可得kAM+kBN= + ,

通分后的分子=x2y1 x2 y1+x1y2+ x1+ y2+

=2my1y2+ 1+y2)+ (x1﹣x2)+ (y2﹣y1)+

=﹣ + (y1﹣y2)+ (y2﹣y1)+ =0.

即有直線AM與直線BN斜率之和為定值0.


【解析】(1)設(shè)P(x,y),由題意可得kPDkPE=﹣ ,運(yùn)用直線的斜率公式,化簡即可得到所求軌跡方程;(2)設(shè)過F的直線為x=my+ ,代入橢圓方程x2+2y2=4,設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),運(yùn)用韋達(dá)定理,點(diǎn)滿足直線方程,再由過O的直線x=﹣my交橢圓C于M,N兩點(diǎn),求得M,N的坐標(biāo),運(yùn)用直線的斜率公式,化簡整理,即可得到直線AM與直線BN斜率之和為定值0.

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