數(shù)列{an}滿足Sn=2n-an，n∈N+．（Sn為前n項和）
（1）計算a1，a2，a3，a4，并由此猜想an；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的結(jié)論．

解：（1）a1=s1=2-a1，∴a1=1，
s2=a1+a2=2×2-a2，
∴a2=，s3=a1+a2+a3=2×3-a3，
∴a3=，
s4-s3=a4，
∴2×4-a4-a3=a4，a4=，
猜想an=2-（n∈N+）．
（2）證明：①當(dāng)n=1時，a1=2-=1-1=1，猜想結(jié)論成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時結(jié)論成立，即ak=2-．
當(dāng)n=k+1時ak+1=sk+1-sk=2（k+1）-ak+1-2k+ak，
2ak+1=2+ak，ak+1=1+=1+1-=2-．
所以當(dāng)n=k+1時，猜想結(jié)論成立．
由（1）和（2）可知，對一切n（n∈N+）結(jié)論成立．
分析：（1）由題意Sn=2Sn=2n-an，令n=1因為s1=a1，可求出a1的值，再反復(fù)代入Sn=2n-an，分別求出a2，a3，a4，總結(jié)出規(guī)律；
（2）根據(jù)（1）的猜想，利用歸納法進(jìn)行證明，假設(shè)n=k成立，然后利用已知條件驗證n=k+1是否成立，從而求證．
點評：此題主要考查數(shù)列的遞推公式和利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，歸納法是高考中�？嫉姆椒�，幾乎每年都考，對此學(xué)生要引起注意，多加練習(xí)．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

數(shù)列{an}滿足Sn=2n-an（n∈N）
（Ⅰ）計算a1，a2，a3，a4；
（Ⅱ）猜想通項公式an，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

數(shù)列{an}滿足Sn=2n-an（n∈N*）．
（1）計算a1，a2，a3，a4；
（2）由（1）猜想通項公式an．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

數(shù)列{an}滿足Sn=2n-an，其中Sn=a1+a2+a3+…+an，求a1，a2，a3，a4值，猜想an，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正項數(shù)列{ an }滿足Sn+Sn-1=
2
ta
n
+2 （n≥2，t＞0），a1=1，其中Sn是數(shù)列{ an }的前n項和．
（Ⅰ）求通項an；
（Ⅱ）記數(shù)列{
1
anan+1
}的前n項和為Tn，若Tn＜2對所有的n∈N*都成立．求證：0＜t≤1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若正數(shù)數(shù)列{an}滿足Sn=
1
2
(an+
1
an
)，其中Sn是數(shù)列{an}的前n項和．
（1）求Sn；
（2）若bn=(
S
2
n
)
1
S
2
n+1
，是否存在bk=bm（k≠m）？若存在，求出所有相等的兩項；若不存在，說明理由．

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