Question

【題目】如圖所示的多面體中， 菱形， 是矩形， ⊥平面 ， ， .

（Ⅰ）異面直線(xiàn) 與 所成的角余弦值；
（Ⅱ）求證平面 ⊥平面 ；
（Ⅲ）在線(xiàn)段 取一點(diǎn) ，當(dāng)二面角 的大小為60°時(shí)，求 .

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因?yàn)? ，所以 就是異面直線(xiàn) 與 所成的角，連接 ，

在 中， ，于是 ，所以異面直線(xiàn) 與 所成的角余弦值為 .

（Ⅱ）取 的中點(diǎn) .由于 面 ， ，

∴ ，又 是菱形，

是矩形，所以， 是全等三角形，

，所以 ， 就是二面角 的平面角經(jīng)計(jì)算 ，所以 ，即 .

所以平面 平面 .

（Ⅲ）建立如圖的直角坐標(biāo)系，由 ，則

.

平面 的法向量 .

設(shè) ，則

設(shè)平面 的法向量 ，則 得

，令 ，則 ，得 .

因?yàn)槎�面�? 的大小為60°，

所以 ，

整理得 ，解得

所以 .

【解析】(1)由已知A B / / D C可知 ∠ B A E 就是異面直線(xiàn) A E 與 D C 所成的角，因此能求出異面直線(xiàn) A E 與 D C 所成的角，根據(jù)題中的已知條件利用余弦定理求出即可。(2)由已知作出輔助線(xiàn)，可推導(dǎo)出∠ A M C 就是二面角 A E F C 的平面角，借助已知的邊的關(guān)系由勾股定理可得證A M ⊥ M C ，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證。(3)根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，求出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而求出各個(gè)向量的坐標(biāo)，設(shè)出平面CEF和平面NEF的法向量，由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算公式可求出法向量，再利用向量的數(shù)量積運(yùn)算公式結(jié)合二面角 N E F C 的大小為60°得到關(guān)于λ的方程求出其值結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式即可求出結(jié)果。

【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式和平面與平面垂直的判定，需要了解點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為：；一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線(xiàn)，則這兩個(gè)平面垂直才能得出正確答案．