Question

設橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點為F₁（?2，0），左準線l₁與x軸交于N（?3，0），過點N 作傾斜角為30°的直線l 交橢圓于兩個不同的點A，B．
（Ⅰ）求直線l 及橢圓C的方程；
（Ⅱ）求證：點F₁在以線段AB為直徑的圓上．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意

c=2 a2 c =3 a2=b2+c2

，能夠導出橢圓C的方程和直線l的方程．
（Ⅱ）橢圓C的方程即為x²+3y²-6=0，由

y= 3 3 (x+3) x2+3y2-6=0

得2x²+6x+3=0．再由韋達定理能夠導出點F₁在以線段AB為直徑的圓上．

解答：解：（Ⅰ）由題意，

c=2 a2 c =3 a2=b2+c2

∴

a= 6 b= 2 .

則橢圓C的方程為

x2

6

+

y2

2

=1．
直線l的方程為y=

3

3

(x+3)．
（Ⅱ）橢圓C的方程即為x²+3y²-6=0，
由

y= 3 3 (x+3) x2+3y2-6=0

得2x²+6x+3=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

x1+x2=-3 x1x2= 3 2 .

∵

F1A

=(x1+2，y1)，

F1B

=(x2+2，y2)，
∴

F1A

•

F1B

=（x₁+2）•（x₂+2）+y₁y₂．
∵y1=

3

3

(x1+3)，y2=

3

3

(x2+3)，
∴

F1A

•

F1B

=(x1+2)•(x2+2)+

1

3

(x1+3)•(x2+3)
=

1

3

[4x₁x₂+9（x₁+x₂）+21]=

1

3

(6-27+21)=0．
∴

F1A

⊥

F1B

．∴點F₁在以線段AB為直徑的圓上．

點評：本題考查直線方程和橢圓方程的求法，解題時要認真審題，仔細挖掘題設中的隱含條件，注意合理地進行等價轉化．