Question

已知集合P是滿足下述性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：存在非零常數(shù)M，對于任意的x∈R，都有f（x+M）=-Mf（x）成立．
（1）設函數(shù)g（x）=sinπx，試證明：g（x）∈P；（2）當M=1時，試說明函數(shù)f（x）的一個性質(zhì)，并加以證明；
（3）若函數(shù)h（x）=sinωx∈P，求實數(shù)ω的取值范圍．

Answer 1

解：（1）取 M=1 對于任意x∈R，g（x+M）=sin（πx+π）=-sinπx=-g（x）=Mf（x）∴g（x）∈P
（2）M=1時，f（x+1）=-f（x）f（x+2）=-f（x+1）=f（x）∴f（x）是一個周期函數(shù)，周期為2；
（3）∵h（x）=sinωx∈P∴存在非零常數(shù)M，對于對于任意的x∈R，都有h（x+M）=-Mh（x）成立． 既 sin（ωx+ωM）=-Msinωx
若|M|＞1，取sinωx=1，則 sin（ωx+ωM）=-M對x∈R恒成立時不可能的．
若|M|＜1，取sin（ωx+ωM）=1，則 對x∈R也不成立．∴M=±1
當 M=1時 sin（ωx+ω）=-sinωx，sin（ωx+ω）+sinωx=0，（x∈R），解得：ω=2kπ+π（k∈Z）；
當M=-1時 sin（ωx-ω）=sinωx，sin（ωx-ω）-sinωx=0，（x∈R），解得：ω=2kπk∈Z
綜上可得ω=kπ（k∈Z）
分析：（1）可取M=1，驗證即可；
（2）M=1時，由f（x+1）=-f（x）可得到函數(shù)f（x）的一個性質(zhì)：周期性；
（3）由題意可得h（x+M）=-Mh（x）成立，既 sin（ωx+ωM）=-Msinωx，可對M分|M|＞1，|M|＜1及|M|=1三種情況討論解決．
點評：本題考查三角函數(shù)的周期性與最值，難點在于（3）中對M取值范圍的分類討論及和差化積公式與根據(jù)三角函數(shù)值求角的靈活應用，屬于難題．