Question

已知集合P是滿足下述性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：存在非零常數(shù)M，對(duì)于任意的x∈R，都有f（x+M）=-Mf（x）成立．
（1）設(shè)函數(shù)g（x）=sinπx，試證明：g（x）∈P；（2）當(dāng)M=1時(shí)，試說明函數(shù)f（x）的一個(gè)性質(zhì)，并加以證明；
（3）若函數(shù)h（x）=sinωx∈P，求實(shí)數(shù)ω的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）可取M=1，驗(yàn)證即可；
（2）M=1時(shí)，由f（x+1）=-f（x）可得到函數(shù)f（x）的一個(gè)性質(zhì)：周期性；
（3）由題意可得h（x+M）=-Mh（x）成立，既 sin（ωx+ωM）=-Msinωx，可對(duì)M分|M|＞1，|M|＜1及|M|=1三種情況討論解決．

解答：解：（1）取 M=1  對(duì)于任意x∈R，g（x+M）=sin（πx+π）=-sinπx=-g（x）=Mf（x）∴g（x）∈P
（2）M=1時(shí)，f（x+1）=-f（x）f（x+2）=-f（x+1）=f（x）∴f（x）是一個(gè)周期函數(shù)，周期為2；
（3）∵h(yuǎn)（x）=sinωx∈P∴存在非零常數(shù)M，對(duì)于對(duì)于任意的x∈R，都有h（x+M）=-Mh（x）成立．  既 sin（ωx+ωM）=-Msinωx
若|M|＞1，取sinωx=1，則 sin（ωx+ωM）=-M對(duì)x∈R恒成立時(shí)不可能的．
若|M|＜1，取sin（ωx+ωM）=1，則  sinωx=-

1

M

對(duì)x∈R也不成立．∴M=±1
當(dāng) M=1時(shí)   sin（ωx+ω）=-sinωx，sin（ωx+ω）+sinωx=0，2sin(ωx+

ω

2

)•cos

ω

2

=0（x∈R），cos

ω

2

=0解得：ω=2kπ+π（k∈Z）；
當(dāng)M=-1時(shí)  sin（ωx-ω）=sinωx，sin（ωx-ω）-sinωx=0，2cos(ωx-

ω

2

)•sin(-

ω

2

)=0（x∈R），sin

ω

2

=0解得：ω=2kπk∈Z
綜上可得ω=kπ（k∈Z）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的周期性與最值，難點(diǎn)在于（3）中對(duì)M取值范圍的分類討論及和差化積公式與根據(jù)三角函數(shù)值求角的靈活應(yīng)用，屬于難題．