Question

【題目】如圖，在邊長等于2正方形中，點Q是中點，點M，N分別在線段上移動（M不與A，B重合，N不與C，D重合），且，沿著將四邊形折起，使得面面，則三棱錐體積的最大值為________；當三棱錐體積最大時，其外接球的表面積為________．

Answer 1

【答案】

【解析】

（1）依題意設(shè)設(shè),則,利用椎體體積公式列式,再根據(jù)二次函數(shù)可得出最大值.

（2）依題意建立如圖空間直角坐標系,列出各點的坐標,設(shè)球心坐標, 根據(jù)球心到各點距離等半徑求球心坐標,即可得出半徑,最后求出三棱錐的外接球面積.

依題意設(shè),則,

因為,所以,又面面，面面，所以面，

所以是三棱錐的高，

所以三棱錐的體積，

當時，有最大值，

（2）由（1）知道三棱錐體積取得最大值時, ，

折起如圖所示：依題意可建立如圖所示空間直角坐標系：所以,,,，

設(shè)三棱錐外接球的球心為，

，

解,所以，

外接球面積為.

故答案為：.