Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且2S_n=n²+n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=

1

anan+1

+2a_n-1，（n∈N^*）求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件得2a_n=2S_n-2S_n-1=2n，從而得到a_n=n（n≥2），又n=1時，a₁=1適合上式．由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）b_n=

1

anan+1

+2a_n-1=（

1

n

-

1

n+1

）+（2n-1），由此能求出數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且2S_n=n²+n，
n≥2時，2S_n-1=（n-1）²+（n-1），…（2分）
∴2a_n=2S_n-2S_n-1=2n∴a_n=n（n≥2）…（4分）
又n=1時，a₁=1適合上式．
∴a_n=n…（6分）
(2)∵b n=

1

anan+1

+2an-1=

1

n(n+1)

+2n-1=(

1

n

-

1

n+1

)+(2n-1)…（8分）
∴Sn=[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]+(1+3+…+2n-1)…（10分）
=1-

1

n+1

+n2=n2+1-

1

n+1

．…（12分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．