Question

等比數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a₄=16，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若a₁，a₂分別是等差數(shù)列{b_n}的第3項和第5項，求數(shù)列{b_n}的通項公式及前n項和S_n；
（3）在（1）（2）條件下，設(shè)c_n=b_n•a_n，T_n為數(shù)列{c_n}的前n項和，求T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用等比數(shù)列通項公式能求出q=2，由此求出a_n=2ⁿ．
（2）由已知條件利用等差數(shù)列的通項公式求出首項和公差，由此能求出數(shù)列{b_n}的通項公式及前n項和S_n．
（3）由c_n=b_n•a_n=（n-1）•2ⁿ，利用錯位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前n項和．

解答： 解：（1）∵等比數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a₄=16，
∴2q³=16，解得q=2，
∴a_n=2ⁿ．
（2）∵a₁，a₂分別是等差數(shù)列{b_n}的第3項和第5項，
∴

b3=b1+2d=2 b5=b1+4d=4

，
解得b₁=0，d=1，
∴b_n=n-1，S_n=

n(n-1)

2

．
（3）c_n=b_n•a_n=（n-1）•2ⁿ，
∴T_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+（n-1）•2ⁿ，①
2T_n=1•2³+2•2⁴+3•2⁵+…+（n-1）•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-T_n=2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-（n-1）•2ⁿ⁺¹
=

4(1-2n-1)

1-2

-（n-1）•2ⁿ⁺¹
=-4-（n-2）•2ⁿ⁺¹，
∴Tn=(n-2)•2n+1+4．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式、前n項和公式的求法，是中檔題，解題時要注意錯位相減法的合理運用．