Question

已知點(diǎn)M（0，-1），直線l：y=mx+1與曲線C：ax²+y²=2（m，a∈R）交于A、B兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)m=0時(shí)，有∠AOB=

π

3

，求曲線C的方程；
（2）當(dāng)實(shí)數(shù)a為何值時(shí)，對任意m∈R，都有

OA

•

OB

=-2成立．
（3）設(shè)動點(diǎn)P滿足

MP

=

OA

+

OB

，當(dāng)a=-2，m變化時(shí)，求|OP|的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）直線方程為y=1，代入曲線C：ax²+y²=2求得A，B的坐標(biāo)，利用∠AOB=

π

3

可求曲線的方程；
（2）將直線l：y=mx+1與曲線C：ax²+y²=2聯(lián)立，化簡得（a+m²）x²+2mx-1=0，假設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，利用

OA

•

OB

=-2可求；
（3）將條件

MP

=

OA

+

OB

轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的形式，從而可表達(dá)為關(guān)于m的函數(shù)，進(jìn)而求m變化時(shí)，|OP|的取值范圍

解答：解：（1）由題意，直線方程為y=1，代入曲線C：ax²+y²=2可得A(-

1 a

，1)，B(

1 a

，1)
∵∠AOB=

π

3

，∴tan300 =

1 a

，∴a=3
∴曲線C的方程為3x²+y²=2
（2）將直線l：y=mx+1與曲線C：ax²+y²=2聯(lián)立，化簡得（a+m²）x²+2mx-1=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁x₂+y₁y₂=-2
∴可有3a-1=0，∴a=

1

3

（3）由（2）知x1+x2=

2m

m2-2

，y1+y2=

4m2-4

m2-2

設(shè)P（x，y），則（x，y+1）=（x₁+x₂，y₁+y₂）
∴x=

2m

m2-2

，y=

3m2-2

m2-2

∴|OP|=

9m4-8m2+4 m2-2

令m²-2=t（t≥-2），∴|OP|=

24 t2 + 28 t +9

≥

30

6

點(diǎn)評：本題的可得時(shí)直線與圓錐曲線的綜合問題，主要考查曲線方程的求解，考查直線與曲線方程聯(lián)立解決位置關(guān)系問題，計(jì)算量大，由難度．