雙曲線C與橢圓
x2
8
+
y2
4
=1有相同的焦點(diǎn)，直線y=
3
3
x為C的一條漸近線．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）已知點(diǎn)M（0，1），設(shè)P是雙曲線C上的點(diǎn)，Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，求
MP
•
MQ
的范圍．
分析：（1）設(shè)雙曲線方程為：
x2
a2
-
y2
b2
=1，由橢圓方程可得c=2，由條漸近線可得
b
a
=
3
3
，結(jié)合a2=b2+c2可得ab的值，可得方程；
（2）設(shè)P（x0，y0），則Q（-x0，-y0），可得
MP
與
MQ
的坐標(biāo)，可得
MP
•
MQ
結(jié)合
x02
3
-y02=1可得關(guān)于x0的二次函數(shù)，由x0的范圍可得．
解答：解：（1）設(shè)雙曲線方程為：
x2
a2
-
y2
b2
=1  （a＞0，b＞0），
由橢圓
x2
8
+
y2
4
=1，求得兩焦點(diǎn)（-2，0），（2，0），
∴對(duì)雙曲線C，c=2，
又直線y=
3
3
x為C的一條漸近線，
∴
b
a
=
3
3
，
結(jié)合a2=b2+c2，
解得：a2=3，b2=1
∴雙曲線C的方程為
x2
3
-y2=1；
（2）設(shè)P（x0，y0），則Q（-x0，-y0），
∴
MP
=（x0，y0-1），
MQ
=（-x0，-y0-1）
∴
MP
•
MQ
=-x02-y02+1，
又
x02
3
-y02=1，
∴
MP
•
MQ
=-x02-
x02
3
+2=-
4x02
3
+2，
又|x0|≥
3
，∴x02≥3
∴
MP
•
MQ
=-
4x02
3
+2≤-4+2=-2
∴
MP
•
MQ
的范圍是（-∞，-2]
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，涉及向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

雙曲線C與橢圓
x2
8
+
y2
4
=1有相同的焦點(diǎn)，直線y=
3
x為C的一條漸近線．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）過點(diǎn)P（0，4）的直線l，交雙曲線C于A、B兩點(diǎn)，交x軸于Q點(diǎn)（Q點(diǎn)與C的頂點(diǎn)不重合），當(dāng)
PQ
=λ1
QA
=λ2
QB
，且λ1+λ2=-
8
3
時(shí)，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)與橢圓
x2
8
+
y2
4
=1有公共焦點(diǎn)，且以拋物線y2=2x的準(zhǔn)線為雙曲線C的一條準(zhǔn)線．動(dòng)直線l過雙曲線C的右焦點(diǎn)F且與雙曲線的右支交于P、Q兩點(diǎn)．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）無(wú)論直線l繞點(diǎn)F怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，在雙曲線C上是否總存在定點(diǎn)M，使MP⊥MQ恒成立？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線C與橢圓
x2
8
+
y2
4
=1有相同的焦點(diǎn)，實(shí)半軸長(zhǎng)為
3
．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線l：y=kx+
2
與雙曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且
OA
•
OB
＞2（其中O為原點(diǎn)），求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線C與橢圓
x2
8
+
y2
4
=1有相同的焦點(diǎn)，實(shí)半軸長(zhǎng)為
3
．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線l：y=kx+
2
與雙曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且
OA
•
OB
＞2（其中O為原點(diǎn)），求k的取值范圍．

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