Question

（2013•臨沂一模）某次考試中，從甲，乙兩個(gè)班各抽取10名學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，兩班10名學(xué)生成績的莖葉圖如圖所示，成績不小于90分為及格．
（I）從每班抽取的學(xué)生中各抽取一人，求至少有一人及格的概率；
（Ⅱ）從甲班l(xiāng)0人中取兩人，乙班l(xiāng)0人中取一人，三人中及格人數(shù)記為X，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析：（I）由莖葉圖可知：甲班有4人及格，乙班有5人及格，設(shè)事件“從每班10名學(xué)生中各抽取一人，至少有一人及格”為A．可先求出其對立事件

.

A

的概率，再利用P（A）=1-P(

.

A

)即可得出；
（II）由題意可得X的所有可能取值為0，1，2，3．由題意可知：從甲班10人中任選的2人和從乙班10人中任選1人共有

C

2 10

C

1 10

種選法．①X=0表示從甲班選的2人和從乙班所選的1人都不及格，有

C

2 6

C

1 5

種選法；②X=1表示從甲班選的2人和從乙班所選的1人3人中只有1人及格，故有

C

1 4

C

1 6

•

C

1 5

+

C

2 6

C

1 5

種選法；③X=2表示從甲班選的2人和從乙班所選的1人3人中只有2人及格，故有

C

2 4

C

1 5

+

C

1 4

C

1 6

•

C

1 5

種選法；④X=3表示從甲班選的2人和從乙班所選的1人3人都及格，故有

C

2 4

•

C

1 5

種選法．再利用古典概型的概率計(jì)算公式、互為對立事件的概率計(jì)算公式、相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式、互斥事件的概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式即可得出．

解答：解：（I）由莖葉圖可知：甲班有4人及格，乙班有5人及格，
設(shè)事件“從每班10名學(xué)生中各抽取一人，至少有一人及格”為A．
則P(

.

A

)=

C 1 6 • C 1 5

C 1 10 • C 1 10

=

3

10

，
∴P（A）=1-P(

.

A

)=1-

3

10

=

7

10

．
（II）由題意可得X的所有可能取值為0，1，2，3．
P（X=0）=

C 2 6 C 1 5

C 2 10 C 1 10

=

1

6

；P（X=1）=

C 1 4 C 1 6

C 2 10

•

C 1 5

C 1 10

+

C 2 6

C 2 10

•

C 1 5

C 1 10

=

13

30

；
P（x=2）=

C 2 4

C 2 10

•

C 1 5

C 1 10

+

C 1 4 C 1 6

C 2 10

•

C 1 5

C 1 10

=

1

3

；
P（X=3）=

C 2 4

C 2 10

•

C 1 5

C 1 10

=

1

15

．
所以X的分布列為
因此E（X）=0×

1

6

+1×

13

30

+2×

1

3

+3×

1

15

=

′13

10

．

點(diǎn)評：熟練掌握古典概型的概率計(jì)算公式、互為對立事件的概率計(jì)算公式、相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式、互斥事件的概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．