Question

【題目】已知定義在上的函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，且在任意區(qū)間上都不是常值函數(shù).設(shè)，其中分點(diǎn)將區(qū)間任意劃分成個(gè)小區(qū)間，記，稱為關(guān)于區(qū)間的階劃分“落差總和”.

當(dāng)取得最大值且取得最小值時(shí)，稱存在“最佳劃分”.

(1)已知，求的最大值；

(2)已知，求證：在上存在“最佳劃分”的充要條件是在上單調(diào)遞增.

(3)若是偶函數(shù)且存在“最佳劃分”，求證：是偶數(shù)，且.

Answer 1

【答案】(1)3；(2)見解析；(3)見解析

【解析】

(1)直接利用題中給的定義求解即可；

(2)利用函數(shù)的單調(diào)性和數(shù)列的信息應(yīng)用求出充要條件；

(3)利用函數(shù)的奇偶性和存在的最佳劃分，進(jìn)一步建立函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最后求出函數(shù)的關(guān)系式.

(1)；

(2)若在上單調(diào)遞增，則，

故在上存在“最佳劃分”

若在上存在“最佳劃分”，倘若在上不單調(diào)遞增，

則存在.

由（*）

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得，此時(shí)

，與題設(shè)矛盾，舍去，故（*）式中等號(hào)不成立，即：增加分點(diǎn)后，“落差總和”會(huì)增加，故取最大值時(shí)的最小值大于1，與條件矛盾.

所以在上單調(diào)遞增；

(3)由(2)的證明過程可知，在任間區(qū)間上，若存在最佳劃分，則當(dāng)時(shí)，為常值函數(shù)（舍）；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，

若在上存在最佳劃分，則此時(shí)在每個(gè)小區(qū)間上均為最佳劃分.否則，添加分點(diǎn)后可使在上的“落差總和”增大，從而不是“落差總和”的最大值，與“在上存在最佳劃分”矛盾，故在每個(gè)小區(qū)間上都是單調(diào)，

若在上存在最佳劃分，則在相鄰的兩個(gè)區(qū)間上具有不同的單調(diào)性，否則，，

減少分點(diǎn)，“落差總和”的值不變，而的值減少1，故的最小值不是，與“在上存在最佳劃分”矛盾，

存在“最佳劃分”，故在每個(gè)小區(qū)間上都單調(diào)，而是偶函數(shù)，故在軸兩側(cè)的單調(diào)區(qū)間對(duì)稱，共有偶數(shù)個(gè)單調(diào)區(qū)間，且當(dāng)時(shí)，，從而有.