Question

11．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3}{2}$x，sin$\frac{3}{2}$x），$\overrightarrow$=（cos$\frac{x}{2}$，sin$\frac{x}{2}$），且x∈[0，$\frac{2π}{3}$]．
（1）求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$及|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|；
（2）若f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-2λ|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|的最小值為-$\frac{3}{2}$，求實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)數(shù)量積，即模的運(yùn)算再利用兩角和公式和二倍角公式化簡(jiǎn)整理即可；
（2）先求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，再根據(jù)x的范圍，進(jìn)而利用二次的單調(diào)性求得函數(shù)的最值，問(wèn)題得以解決．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3}{2}$x，sin$\frac{3}{2}$x），$\overrightarrow$=（cos$\frac{x}{2}$，sin$\frac{x}{2}$），
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=cos$\frac{3}{2}$xcos$\frac{x}{2}$+sin$\frac{3}{2}$xsin$\frac{x}{2}$=cosx，
|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|²=（cos$\frac{3}{2}$x+cos$\frac{x}{2}$）²+（sin$\frac{3}{2}$x+sin$\frac{x}{2}$）²=2+2cosx=4cos²$\frac{x}{2}$，
∵x∈[0，$\frac{2π}{3}$]．
∴cos$\frac{x}{2}$＞0，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=2cos$\frac{x}{2}$；
（2）由（1）有f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-2λ|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=cosx-4λcos$\frac{x}{2}$=2cos²$\frac{x}{2}$-4λcos$\frac{x}{2}$-1=2（cos$\frac{x}{2}$-λ）²-1-2λ²，
∵x∈[0，$\frac{2π}{3}$]，
∴$\frac{x}{2}$∈[0，$\frac{π}{3}$]，
∴cos$\frac{x}{2}$∈[$\frac{1}{2}$，1]，
當(dāng)λ＜$\frac{1}{2}$時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)cos$\frac{x}{2}$=$\frac{1}{2}$時(shí)，f_min（x）=2×$\frac{1}{4}$-4λ×$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{3}{2}$，解得λ=$\frac{1}{2}$（舍）；
當(dāng)$\frac{1}{2}$≤λ≤1時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)cos$\frac{x}{2}$=λ時(shí)，f_min（x）=-1-2λ²=-$\frac{3}{2}$，解得λ=$\frac{1}{2}$或λ=$-\frac{1}{2}$（舍）；
當(dāng)λ＞1時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)cos$\frac{x}{2}$=1時(shí)，f_min（x）=2-4λ-1=-$\frac{3}{2}$，解得λ=$\frac{5}{8}$（舍）；
綜上所述，λ=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)的最值，和兩角和公式，二倍角公式的運(yùn)用．三角函數(shù)的基本公式較多，注意多積累，屬于中檔題．