Question

5．已知向量$\overrightarrow{AB}$與向量$\overrightarrow{a}$=（1，-2）的夾角為π，|$\overrightarrow{AB}$|=2$\sqrt{5}$，點A的坐標(biāo)為（3，-4）．則點B坐標(biāo)為（　　）

• A． （1，0）
• B． （0，1）
• C． （5，-8）
• D． （-8，5）

Answer 1

分析 由條件利用兩個向量的數(shù)量積的定義求得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{AB}$，設(shè)出點B的坐標(biāo)，再利用兩個向量的數(shù)量積公式求得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{AB}$，可得a、b的一個關(guān)系式．再根據(jù)向量$\overrightarrow{AB}$與向量$\overrightarrow{a}$=（1，-2）的夾角為π，再得到一個關(guān)于a、b的關(guān)系式，解方程組求得a、b的值，可得點B坐標(biāo)．

解答 解：由題意可得|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{1+4}$=$\sqrt{5}$，∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{AB}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{AB}$|•cosπ=$\sqrt{5}$•2$\sqrt{5}$•（-1）=-10．
設(shè)點B的坐標(biāo)為（a，b），則$\overrightarrow{AB}$=（a-3，b+4），由 $\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{AB}$=1×（a-3）+（-2）（b+4）=-10，
求得a-2b=1 ①．
再根據(jù)向量$\overrightarrow{AB}$與向量$\overrightarrow{a}$=（1，-2）的夾角為π，可得（a-3，b+4）=k（1，-2），k＜0，即 b=2-2a ②．
結(jié)合①②求得a=1，b=0，故點B的坐標(biāo)為（1，0），
故選：A．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，兩個向量的數(shù)量積公式，兩個向量共線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．