Question

12．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=1，AB=AD=2，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，證明A₁、C₁、F、E四點(diǎn)共面，并求直線CD₁與平面A₁C₁FE所成的角的大�。�

Answer 1

分析 利用長(zhǎng)方體的幾何關(guān)系建立直角坐標(biāo)系．利用向量方法求空間角．

解答 解：連接AC，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，所以EF是△ABC的中位線，所以EF∥AC．由長(zhǎng)方體的性質(zhì)知AC∥A₁C₁，
所以EF∥A₁C₁，
所以A₁、C₁、F、E四點(diǎn)共面．
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DD₁分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，易求得
$\overrightarrow{{D}_{1}C}=（0，2，-1）$
$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=（-2，2，0）$，$\overrightarrow{{A}_{1}E}=（0，1，-1）$
設(shè)平面A₁C₁EF的法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}E}=0}\end{array}\right.$，所以$\left\{\begin{array}{l}{（x，y，z）•（-2，2，0）=0}\\{（x，y，z）（0，1，-1）=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-2x+2y=0}\\{y-z=0}\end{array}\right.$，
z=1，得x=1，y=1，所以$\overrightarrow{n}=（1，1，1）$，
所以$|cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{{D}_{1}C}＞|=\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{D}_{1}C}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{{D}_{1}C}|}$=$\frac{|（1，1，1）•（0，2，-1）|}{\sqrt{3}\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{15}}{15}$，
所以直線CD₁與平面A₁C₁FE所成的角的大小arcsin$\frac{\sqrt{15}}{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查利用空間直角坐標(biāo)系求出空間角的方法，屬高考常考題型．