Question

3．如圖，三棱錐P-ABC中，E，D分別是BC，AC的中點，PB=PC=AB=4，AC=8，BC=4$\sqrt{3}$，PA=2$\sqrt{6}$．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面PED；
（Ⅱ）求平面PED與平面PAB所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過勾股定理得AB⊥BC，利用中位線定理可得DE⊥BD，根據(jù)線面垂直的判定定理即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過余弦定理易得△PDE是等邊三角形，取DE中點F，過點F作BD的平行線交AB于點G，連結(jié)PF，PG，則∠FPG就是平面PED與平面PAB所成的銳二面角的平面角，在Rt△FPG中計算即可．

解答 （Ⅰ）證明：∵AC=8，BC=4$\sqrt{3}$，AB=4，
∴由勾股定理得AB⊥BC，
又∵E、D分別是BC、AC的中點，
∴DE∥AB，∴DE⊥BD，
又∵PB=PC=4，且D是棱BC的中點，
∴PD⊥BC，∴BC⊥平面PED；
（Ⅱ）解：在△PAC中，∵PC=4，AC=8，PA=2$\sqrt{6}$，
∴由余弦定理可得cos∠PCA=$\frac{7}{8}$，
又∵E是AC的中點，由余弦定理可求得PE=2，易得PD=DE=2，
∴△PDE是等邊三角形，
取DE中點F，過點F作BD的平行線交AB于點G，連結(jié)PF，PG，
則PF⊥DE，PG⊥AB，
∵DE∥AB，設平面PED與平面PAB的交線為l，則有DE∥AB∥l，
∵PF⊥DE，GF⊥DE，
∴DE⊥平面PFG，l⊥平面PFG，
則∠FPG就是平面PED與平面PAB所成的銳二面角的平面角，
∵PF=$\sqrt{3}$，F(xiàn)G=BD=$2\sqrt{3}$，且PF⊥FG，
∴PG=$\sqrt{15}$，∴cos∠FPG=$\frac{PF}{PG}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
故平面PED與平面PAB所成的銳二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查二面角，空間中面與面的位置關(guān)系，余弦定理，注意解題方法的積累，屬于中檔題．