Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx﹣ax，（a∈R）
（1）若函數(shù)f（x）在點區(qū)間[e，+∞]處上為增函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象在點x=e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）處的切線斜率為3，且k∈Z時，不等式 k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值；
（3）n＞m≥4時，證明：（mnn）m＞（nmm）n ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=ax+xlnx，

又函數(shù)f（x）在區(qū)間[e，+∞）上為增函數(shù)，

∴當(dāng)x≥e時，f'（x）=a+1+lnx≥0恒成立，

∴a≥（﹣1﹣lnx）max=﹣1﹣lne=﹣2，

即a的取值范圍為[﹣2，+∞）；

（2）解：因為f（x）=ax+xlnx（a∈R），

所以f'（x）=a+lnx+1f（x）在點x=e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）處的切線斜率為3，

f'（e）=3，即a+lne+1=3，∴a=1

當(dāng)x＞1時，x﹣1＞0，故不等式 ，

即 對任意x＞1恒成立，

令 則 ．

令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），

則 在（1，+∞）上單增，

∵h(yuǎn)（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣ln4＞0，

∴存在x0∈（3，4）使h（x0）=0，

即當(dāng)1＜x＜x0時，h（x）＜0，即g'（x）＜0，

當(dāng)x＞x0時，h（x）＞0，即g'（x）＞0，

∴g（x）在（1，x0）上單減，在（x0，+∞）上單增．

令h（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，即lnx0=x0﹣2，

∴k＜g（x）min=x0且k∈Z，

即kmax=3

（3）證明：由（2）知， 是[4，+∞）上的增函數(shù)，

所以當(dāng)n＞m≥4，

整理，得mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn+n﹣m

因為n＞m，mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn…

即lnnmn+lnmm＞lnmmn+lnnn，

ln（nmnmm）＞ln（mmnnn），

nmnmm＞mmnnn，

∴（mnn）m＞（nmm）n

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到a≥（﹣1﹣lnx）max=﹣1﹣lne=﹣2，從而求出a的范圍即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出a的值，得到 對任意x＞1恒成立，令 ，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最小值，從而求出k的最大值；（3）當(dāng)n＞m≥4，得到 ，整理即可．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減，以及對函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的理解，了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．