Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-kx
（Ⅰ）若k=e，試確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若k＞0，且對(duì)于任意 x∈R，f（|x|）＞0恒成立，試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用求導(dǎo)確定單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）先判斷出f（x）是偶函數(shù)，只討論x＞0的情況，再通過(guò)討論k的取值范圍，最后確定．

解答： 解：（Ⅰ）由k=e得：f（x）=e^x-ex，
∴f′（x）=e^x-e，
由f′（x）=e^x-e＞0得x＞1，
由f′（x）=e^x-e＜0得x＜1；
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：（1，+∞），
f（x）的單調(diào)減區(qū)間為：（-∞，1）；
（Ⅱ）∵f（|x|）=e^|e|-k|x|，而f（|-x|）=f（|x|），
∴f（|x|）為偶函數(shù)，
∴若k＞0，對(duì)于任意 x∈R，f（|x|）＞0恒成立，等價(jià)于f（x）＞0對(duì)x≥0恒成立，
而f′（x）=e^x-k，
①當(dāng)k∈（0，1]時(shí)，f′（x）=e^x-k＞1-k≥0（x＞0），
此時(shí)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
故f（x）≥f（0）=1＞0，符合題意．
②當(dāng)k∈（1，+∞）時(shí)，由f′（x）=e^x-k=0，解得：x=lnk，
∴在（0，lnk）上，f（x）單調(diào)遞減，在（lnk，+∞）上，f（x）單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（lnk）=k-klnk，
由題意得：k-klnk＞0，∵k＞1，∴解得：1＜k＜e；
由①②得：0＜k＜e．

點(diǎn)評(píng)：本題屬于利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的綜合問(wèn)題，有一定難度，解題過(guò)程滲透了分類討論思想，解題時(shí)小心謹(jǐn)慎以防出錯(cuò)．