Question

已知數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，且b_n+1=16b_n（n∈N），設(shè)數(shù)列{

bn

}的前n項和是T_n．
（1）比較T_n+1²與T_n•T_n+2的大�。�
（2）若數(shù)列{a_n} 的前n項和S_n=2n²+2n+2，數(shù)列{c_n}=a_n-log_db_n（d＞0，d≠1），求d的取值范圍使得{c_n}是遞增數(shù)列．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由數(shù)列遞推式可得數(shù)列{b_n}為公比是16的等比數(shù)列，求出其通項公式后可得

bn

=4n-1，然后由等比數(shù)列的前n項和求得T_n，再由作差法證明T_n+1²＞T_n•T_n+2；
（2）由S_n=2n²+2n+2求出首項，進一步得到n≥2時的通項公式，再把數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式代入c_n=a_n-log_db_n=4n+（4-4n）log_d2=（4-4log_d2）n+4log_d2，然后由一次項系數(shù)大于0求得d的取值范圍．

解答： 解：（1）由b_n+1=16b_n，得數(shù)列{b_n}為公比是16的等比數(shù)列，
又b₁=1，∴bn=16n-1，因此

bn

=4n-1，
則Tn=

b1

+

b2

+…+

bn

=

1×(1-4n)

1-4

=

1

3

(4n-1)，
∵T_n+1²-T_n•T_n+2 =

1

9

(1-4n+1)2-

1

9

(1-4n)(1-4n+2)=4n＞0．
于是T_n+1²＞T_n•T_n+2；
（2）由S_n=2n²+2n+2，當(dāng)n=1時求得a₁=S₁=4；
當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=2n2+2n-2(n-1)2-2(n-1)=4n．
a₁=4滿足上式，∴a_n=4n．
可得c_n=a_n-log_db_n=4n+（4-4n）log_d2=（4-4log_d2）n+4log_d2，
要使數(shù)列{c_n}是遞增數(shù)列，則4-4log_d2＞0，即log_d2＜1．
當(dāng)0＜d＜1時，有l(wèi)og_d2＜0恒成立，當(dāng)d＞1時，有d＞2．
綜上，d∈（0，1）∪（2，+∞）．

點評：本題考查了等比關(guān)系的確定，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，考查了對數(shù)不等式的解法，是中檔題．