Question

求函數(shù)f（x）=（x-1）²+1在下列情況下的值域：
①x∈R，②x∈{-1，0，1}，③x∈[-1，0]，④x∈[2，3]，⑤x∈[-1，2]．

Answer 1

解：①x∈R時，f（x）=（x-1）²+1≥1
∴函數(shù)的值域為：[1，+∞）
②x∈{-1，0，1}
f（-1）=5，f（0）=2，f（1）=1
∴函數(shù)的值域{5，2，1}
③x∈[-1，0]，函數(shù)單調遞減，而f（-1）=5，f（0）=2
∴函數(shù)的值域[2，5]
④x∈[2，3]時，函數(shù)的對稱軸x=1，函數(shù)在x∈[2，3]時，單調遞增
而f（2）=2，f（3）=5
∴函數(shù)的值域[2，5]
⑤x∈[-1，2]函數(shù)在[-1，1]單調遞減，在[1，2]單調遞增，函數(shù)在x=1時取得最小值，在-1取得最大值
而f（1）=1，f（-1）=5
∴函數(shù)的值域[1，5]
分析：由于f（x）=（x-1）²+1的對稱軸為x=1，只有判斷函數(shù)在所給區(qū)間上的單調性，結合二次函數(shù)的性質可求各區(qū)間上的值域
點評：本題主要考查了二次函數(shù)在區(qū)間上的值域的求解，解題的關鍵是確定函數(shù)在各區(qū)間上的單調性，千萬不能直接把區(qū)間的端點值直接代入分別作函數(shù)的最值．