【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R.
(1)若f(x)在x=3處取得極值,求常數(shù)a的值;
(2)若f(x)在(-∞,0)上為增函數(shù),求a的取值范圍.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】
(1),由在處取得扱值,可得 ,解得即可;(2)因為函數(shù)在上為增函數(shù),令得到函數(shù)的極值點,討論的取值范圍,分別利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減性,可得到函數(shù)為增函數(shù)時的范圍.
(1)f′(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-a)(x-1).
因為f(x)在x=3處取得極值,
所以f′(3)=6(3-a)(3-1)=0,解得a=3.
經(jīng)檢驗知,當(dāng)a=3時,x=3為f(x)的極值點.
(2)令f′(x)=6(x-a)(x-1)=0,解得x1=a,x2=1.
當(dāng)a<1時,若x∈(-∞,a)∪(1,+∞),
則f′(x)>0,所以f(x)在(-∞,a)和(1,+∞)上為增函數(shù),
故當(dāng)0≤a<1時,f(x)在(-∞,0)上為增函數(shù);
當(dāng)a≥1時,若x∈(-∞,1)∪(a,+∞),
則f′(x)>0,所以f(x)在(-∞,1)和(a,+∞)上為增函數(shù),
所以f(x)在(-∞,0)上為增函數(shù).
綜上所述,當(dāng)a∈[0,+∞)時,f(x)在(-∞,0)上為增函數(shù).
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【題目】設(shè)F1,F(xiàn)2為橢圓的兩個焦點,P為橢圓上的一點,已知P,F(xiàn)1,F(xiàn)2是一個直角三角形的三個頂點,且|PF1|>|PF2|,求的值.
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=x3﹣ x2+6x+m.
(1)對于x∈R,f′(x)≥a恒成立,求a的最大值;
(2)若方程f(x)=0有且僅有一個實根,求m的取值范圍;
(3)當(dāng)m=2時,若函數(shù)g(x)= + x﹣6+2blnx(b≠0)在[1,2]上單調(diào)遞減,求實數(shù)b的最大值.
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【題目】如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,BA,CD的延長線相交于點E,EF∥DA,并與CB的延長線交于點F,F(xiàn)G切⊙O于G.
(1)求證:BEEF=CEBF;
(2)求證:FE=FG.
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【題目】執(zhí)行如圖所示的程序框圖,設(shè)當(dāng)箭頭a指向①處時,輸出的S的值為m,當(dāng)箭頭a指向②處時,輸出的S的值為n,則m+n=
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【題目】經(jīng)市場調(diào)查,某旅游城市在過去的一個月內(nèi)(以30天計),第t天(1≤t≤30,t∈N*)的旅游人數(shù)f(t)(單位:萬人)近似地滿足f(t)=4+ ,而人均日消費俄g(t)(單位:元)近似地滿足g(t)= .
(1)試求所有游客在該城市旅游的日消費總額W(t)(單位:萬元)與時間t(1≤t≤30,t∈N*)的函數(shù)表達(dá)式;
(2)求所有游客在該城市旅游的日消費總額的最小值.
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【題目】已知命題P:在R上定義運算:x y=(1-x)y.不等式x (1-a)x<1對任意實數(shù)x恒成立;命題Q:若不等式≥2對任意的x∈ N*恒成立.若P∧ Q為假命題,P∨ Q為真命題,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】根據(jù)以往的經(jīng)驗,某工程施工期間的將數(shù)量X(單位:mm)對工期的影響如下表:
降水量X | X<300 | 300≤X<700 | 700≤X<900 | X≥900 |
工期延誤天數(shù)Y | 0 | 2 | 6 | 10 |
歷年氣象資料表明,該工程施工期間降水量X小于300,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9,求:
(I)工期延誤天數(shù)Y的均值與方差;
(Ⅱ)在降水量X至少是300的條件下,工期延誤不超過6天的概率.
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【題目】給定下列命題:①“若α=,則tan α=1”的逆否命題;②若f(x)=cos x,則f(x)為周期函數(shù);③“若a=b,則|a|=|b|”的逆命題;④“若xy=0,則x,y中至少有一個為零”的否命題.其中真命題的序號是______.
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