Question

【題目】設(shè)函數(shù)f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中a∈R.

(1)若f(x)在x＝3處取得極值，求常數(shù)a的值；

(2)若f(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1） ；（2） .

【解析】

（1），由在處取得扱值，可得 ,解得即可；（2）因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，令得到函數(shù)的極值點(diǎn),討論的取值范圍，分別利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減性，可得到函數(shù)為增函數(shù)時(shí)的范圍.

(1)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－a)(x－1)．

因?yàn)閒(x)在x＝3處取得極值，

所以f′(3)＝6(3－a)(3－1)＝0，解得a＝3.

經(jīng)檢驗(yàn)知，當(dāng)a＝3時(shí)，x＝3為f(x)的極值點(diǎn)．

(2)令f′(x)＝6(x－a)(x－1)＝0，解得x1＝a，x2＝1.

當(dāng)a＜1時(shí)，若x∈(－∞，a)∪(1，＋∞)，

則f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，a)和(1，＋∞)上為增函數(shù)，

故當(dāng)0≤a＜1時(shí)，f(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)；

當(dāng)a≥1時(shí)，若x∈(－∞，1)∪(a，＋∞)，

則f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，1)和(a，＋∞)上為增函數(shù)，

所以f(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)．

綜上所述，當(dāng)a∈[0，＋∞)時(shí)，f(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)．