Question

求函數(shù)f（x）=2-4asinx-cos2x的最小值g（a）的表達式．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：首先，得到f（x）=2sin²x-4asinx+1，然后，換元sinx=t，t∈[-1，1]，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行求解．

解答： 解：∵f（x）=2-4asinx-cos2x
=2-4asinx-（1-2sin²x）
=2sin²x-4asinx+1，
∴f（x）=2sin²x-4asinx+1，
令sinx=t，t∈[-1，1]，
∴h（t）=2t²-4at+1
=2（t-a）²+1-2a²，
∴h（t）=2（t-a）²+1-2a²，
∵t∈[-1，1]，
當a≤-1時，函數(shù)h（t）在[-1，1]上為增函數(shù)，
∴t=-1時，取得最小值，
g（a）=2+4a+1=5+4a，
當-1＜a≤1時，函數(shù)h（t）在t=a時，取得最小值，
g（a）=2t²-4at+1，
當a＞1時，函數(shù)h（t）在[-1，1]上為減函數(shù)，
∴t=1時，取得最小值，
g（a）=2-4a+1=3-4a，
∴g（a）=

5+4a ;a≤-1 2t2-4at+1 ;-1＜a≤1 3-4a ;a＞1

．

點評：本題重點考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．