Question

已知函數(shù)f（x）=x|2a-x|+2x，a∈R．
（1）若a=0，判斷函數(shù)y=f（x）的奇偶性，并加以證明；
（2）若函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．
（3）求y=f（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）若a=0，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)y=f（x）的奇偶性；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義和性質(zhì)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求實數(shù)a的取值范圍；
（3）根據(jù)a和區(qū)間的關(guān)系，建立條件關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)．
當a=0時，f（x）=x|x|+2x，
∴f（-x）=-x|x|-2x=-f（x），
∴函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)；
（2）f（x）=

x2+(2-2a)x， x≥2a -x2+(2+2a)x， x＜2a

，
當x≥2a時，f（x）的對稱軸為：x=a-1；
當x＜2a時，y=f（x）的對稱軸為：x=a+1；
∴當a-1≤2a≤a+1時，f（x）在R上是增函數(shù)，
即-1≤a≤1時，函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；      
（3）①當-1≤a≤1時，函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，此時函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值為f（2）=4+2|4a-2|．
②當a＞1時，即2a＞a+1＞a-1，
f（x）在（-∞，a+1）上單調(diào)增，在（a+1，2a）上單調(diào)減，在（2a，+∞）上單調(diào)增，此時函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值為f（2）=4+2|4a-2|
③當a＜-1時，即2a＜a-1＜a+1，
f（x）在（-∞，2a）上單調(diào)增，在（2a，a-1）上單調(diào)減，在（a-1，+∞）上單調(diào)增，
此時函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值為f（2）=4+2|4a-2|．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強．