Question

3．過點（3，0）的l與圓x²+y²+x-6y+3=0相交于P，Q兩點，且OP⊥OQ（O為原點），求l的方程．

Answer 1

分析 直線l的斜率存在，可設(shè)直線l：y=k（x-3），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），將直線和圓進(jìn)行聯(lián)立，利用判別式大于0和根與系數(shù)之間的關(guān)系建立條件方程，再由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，化簡整理解方程k的斜率k，即可求出直線方程．

解答 解：由（3，0）代入圓的方程，可得直線x=3與圓無交點，
可設(shè)直線l：y=k（x-3），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則由方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-3）}\\{{x}^{2}+{y}^{2}+x-6y+3=0}\end{array}\right.$，
消y得（1+k²）x²-（6k²+6k-1）x+9k²+18k+3=0，
△=（6k²+6k-1）²-4（1+k²）（9k²+18k+3）＞0，
由韋達(dá)定理得，x₁+x₂=$\frac{6{k}^{2}+6k-1}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{9{k}^{2}+18k+3}{1+{k}^{2}}$，
y₁y₂=k²（x₁-3）（x₂-3）=k²[x₁x₂+9-3（x₁+x₂）]
=k²（$\frac{9{k}^{2}+18k+3}{1+{k}^{2}}$+9-3•$\frac{6{k}^{2}+6k-1}{1+{k}^{2}}$）=$\frac{15{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，
∵OP⊥OQ，
∴k_OP•k_OQ=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-1，
故x₁x₂+y₁y₂=0，
從而可得$\frac{9{k}^{2}+18k+3}{1+{k}^{2}}$+$\frac{15{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$=0，
解得k=-$\frac{1}{2}$或-$\frac{1}{4}$，代入判別式均大于0成立，
則直線l的方程為x+2y-3=0或x+4y-3=0．

點評 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，聯(lián)立方程組利用根與系數(shù)之間的關(guān)系建立條件，考查兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．