Question

如圖，正方形 ABCD 和正方形 CDEF所在平面互相垂直，M為FC的中點(diǎn)．
（1）求證：AF∥平面MBD；
（2）求異面直線AF與BM所成角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接MO，可得△ACF中，MO為中位線，即MO∥AF，進(jìn)而由線面平行的判定定理可得AF∥平面MBD；
（2）由（1）中MO∥AF，可得AF與BM所成角即∠OMB，解三角形可得：異面直線AF與BM所成角的余弦值．

解答： 證明：（1）連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接MO 
∵ABCD為正方形，
∴O為AC中點(diǎn)
∵△ACF中，M為EC中點(diǎn)
∴MO∥AF
又∵M(jìn)O?平面MBD，AF?平面MBD，
∴AF∥平面MBD． 
（2）解：根據(jù)（1）得AF∥OM，
AF與BM所成角即∠OMB，
設(shè)正方形邊長為a，
則AC=

2

a，AF=

3

a，MO=

1

2

AF=

3

2

a，MC=

1

2

a
∴MB=

MC2+CB2

=

5

2

a
∴cos∠BMO=

MO

MB

=

3 2 a

5 2 a

=

15

5

．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是異面直線及其所成的角，直線與平面平行的判定，難度中檔．