函數(shù)f（x）的定義域為R，且f（x）的值不恒為0，又對于任意的實數(shù)m，n，總有f(m)f(n)=mf(
n
2
)+nf(
m
2
)成立．
（1）求f（0）的值；
（2）求證：t•f（t）≥0對任意的t∈R成立；
（3）求所有滿足條件的函數(shù)f（x）．
分析：（1）由已知中任意的實數(shù)m，n，總有f(m)f(n)=mf(
n
2
)+nf(
m
2
)成立，令m=n=0，易得f（0）的值；
（2）由已知中任意的實數(shù)m，n，總有f(m)f(n)=mf(
n
2
)+nf(
m
2
)成立，令m=n，即可得到結(jié)論；
（3）由已知中任意的實數(shù)m，n，總有f(m)f(n)=mf(
n
2
)+nf(
m
2
)成立，令m=2n=2x，即可得到結(jié)論．
解答：解：（1）令m=n=0
∴f2（0）=0∴f（0）=0
（2）令m=n
∴
f
2
 
(m)=2mf(
m
2
)=4•
m
2
•f(
m
2
)＞0
∴對于任意的tt•f(t)=
1
4
f
2
 
(2t)≥0
∴即證
（3）令m=2n=2x
∴f(2x)•f(x)=2xf(
x
2
)+x•f(x)=f2（x）+xf（x）
當f（x）=0時恒成立，
當f（x）≠0時有，
∴f2（2x）=[f（x）+x]2=4xf（x）
∴f（x）=x．
點評：本題考查的知識點是抽象函數(shù)及其應用，函數(shù)恒成立問題，其中在解答抽象函數(shù)的關鍵是“湊”，如（1）中令m=n=0，（2）中令m=n，（3）中令m=2n=2x．
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）的定義域為{x|x≠0}，且滿足對于定義域內(nèi)任意的x1，x2都有等式f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（Ⅲ）若f（2）=1，且f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，解關于x的不等式f（2x-1）-3≤0．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）的定義域是[0，1），則F（x）=f[log 
12
(3-x)]的定義域為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a＞0且a≠1，函數(shù)f（x）=loga（x+1），g(x)=loga
11-x
，記F（x）=2f（x）+g（x）
（1）求函數(shù)F（x）的定義域D及其零點；
（2）試討論函數(shù)F（x）在定義域D上的單調(diào)性；
（3）若關于x的方程F（x）-2m2+3m+5=0在區(qū)間[0，1）內(nèi)僅有一解，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）的定義域為（-1，1），它在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，且f（a-3）+f（4-2a）＜0，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）的定義域為[-1，2]，則函數(shù)
f(x+2)
x
的定義域為（　�。�
A、[-1，0）∪（0，2]
B、[-3，0）
C、[1，4]
D、（0，2]

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