Question

16．設(shè)方程x²+ax+b-2=0（a，b∈R）的兩根分別在區(qū)間（-∞，-2]和[2，∞）上，則a²+b²的最小值是（　　）

• A． 2
• B． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． 4

Answer 1

分析 方程x²+ax+b-2=0（a，b∈R）的兩根分別在區(qū)間（-∞，-2]和[2，∞）上，則$\left\{\begin{array}{l}2-2a+b≤0\\ 2+2a+b≤0\end{array}\right.$，畫出可行域，并分析目標(biāo)函數(shù)a²+b²的幾何意義，可得答案．

解答 解：∵方程x²+ax+b-2=0（a，b∈R）的兩根分別在區(qū)間（-∞，-2]和[2，∞）上，
∴$\left\{\begin{array}{l}2-2a+b≤0\\ 2+2a+b≤0\end{array}\right.$，
滿足條件的可行域如下圖所示：

a²+b²表示可行域內(nèi)點(diǎn)（a，b）到原點(diǎn)距離的平方，
故當(dāng)a=0，b=2時(shí)，a²+b²的最小值是4，
故選：D

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)，線性規(guī)劃，是函數(shù)與線性規(guī)劃的綜合應(yīng)用，難度中檔．