Question

（2013•懷化三模）若某地區(qū)每年各個(gè)月份降水量發(fā)生周期變化．現(xiàn)用函數(shù)f（n）=100[Acos（ωn+

2

3

π）+m]近似地刻畫．其中：正整數(shù)n表示月份且n∈[1，12]，例如n=1時(shí)表示1月份，A和m是正整數(shù)，ω＞0．統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，該地區(qū)每年各個(gè)月份降水量有以下規(guī)律：
①各年相同的月份，該地區(qū)降水量基本相同；
②該地區(qū)降水量最大的8月份和最小的12月份相差約400ml；
③2月份該地區(qū)降水量約為100ml，隨后逐月遞增直到8月份達(dá)到最大．
（1）試根據(jù)已知信息，確定一個(gè)符合條件的f（n）的表達(dá)式；
（2）一般地，當(dāng)該地區(qū)降水量超過(guò)400 ml時(shí)，該地區(qū)進(jìn)入了一年中的“汛季”，那么一年中的哪幾個(gè)月是該地區(qū)的“汛季”？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三條規(guī)律，知該函數(shù)為周期為12的周期函數(shù)，進(jìn)而求得ω，利用規(guī)律②可求得函數(shù)的最大值和最小值，則可求得三角函數(shù)解析式中的振幅A；同時(shí)根據(jù)n=2時(shí)，f（2）的值求得k，則函數(shù)的解析式可得．
（2）利用余弦函數(shù)的性質(zhì)根據(jù)題意求得cos（

π

6

n+2）的范圍，進(jìn)而求得n的范圍，根據(jù)n∈[1，12]，n∈N^*，即可求得n的值．

解答：解：（1）根據(jù)三條規(guī)律，可知該函數(shù)為周期函數(shù)，且周期為12．
由此可得，T=

2π

ω

=12⇒ω=

π

6

；
由規(guī)律②可知，f（n）_max=f（8）=100A+100k，f（n）_min
=f（2）=-100A+100k，f（8）-f（2）=200A=400⇒A=2；
又當(dāng)n=2時(shí)，f（2）=200•cos（

π

6

•2+2）+100k=100，
所以，k≈2.99，由條件k是正整數(shù)，故取k=3．
綜上可得，f（n）=200cos（

π

6

n+2）+300符合條件．
（2）由條件，200cos（

π

6

n+2）+300＞400，
可得cos（

π

6

n+2）＞

1

2

⇒2kπ-

π

3

＜

π

6

n+2＜2kπ+

π

3

，k∈Z⇒

6

π

（2kπ-

π

3

-2）＜n＜

6

π

（2kπ+

π

3

-2），
k∈Z⇒12k-2-

12

π

＜n＜12k+2-

12

π

，k∈Z．
因?yàn)閚∈[1，12]，n∈N^*，所以當(dāng)k=1時(shí)，6.18＜n＜10.18，
故n=7，8，9，10，即一年中的7，8，9，10四個(gè)月是該地區(qū)的旅游“汛季”．

點(diǎn)評(píng)：本題考查在實(shí)際問(wèn)題中建立三角函數(shù)模型的問(wèn)題．從問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)周期變化的規(guī)律，并將所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律抽象為恰當(dāng)?shù)娜�角函�?shù)模型是解題的關(guān)鍵．