【題目】已知橢圓: 的離心率為,橢圓的四個頂點圍成的四邊形的面積為4.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)直線與橢圓交于, 兩點, 的中點在圓上,求(為坐標原點)面積的最大值.
【答案】(Ⅰ).
(Ⅱ)1.
【解析】試題分析:(Ⅰ)由題意知, ,得, ,代入橢圓的方程,再由橢圓的四個頂點圍成的四邊形的面積得,求得的值,即可得到橢圓的方程;
(Ⅱ)當(dāng)直線的斜率不存在時,得到,
當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè): ,聯(lián)立方程組,求得,求得中點的坐標,代入圓的方程,得,再由弦長公式和點到直線的距離公式,即可得到的表達式,即可求解面積的最大值.
試題解析:
(Ⅰ)由題意知,得, ,
所以,
由橢圓的四個頂點圍成的四邊形的面積為4,得,
所以, ,橢圓的標準方程為.
(Ⅱ)當(dāng)直線的斜率不存在時,
令,得, ,
當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè): , , , ,
由,得,
則, ,
所以, ,
將代入,得,
又因為 ,
原點到直線的距離,
所以
.
當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號.
綜上所述, 面積的最大值為1.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙、丙、丁四名同學(xué)在回憶同一個函數(shù),甲說:“我記得該函數(shù)定義域為,還是奇函數(shù)”.乙說:“我記得該函數(shù)為偶函數(shù),值域不是”.丙說:“我記得該函數(shù)定義域為,還是單調(diào)函數(shù)”.丁說:“我記得該函數(shù)的圖象有對稱軸,值域是”,若每個人的話都只對了一半,則下列函數(shù)中不可能是該函數(shù)的是( )
A. B.
C. D.
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【題目】207年8月8日晚我國四川九賽溝縣發(fā)生了7.0級地震,為了解與掌握一些基本的地震安全防護知識,某小學(xué)在9月份開學(xué)初對全校學(xué)生進行了為期一周的知識講座,事后并進行了測試(滿分100分),根據(jù)測試成績評定為“合格”(60分以上包含60分)、“不合格”兩個等級,同時對相應(yīng)等級進行量化:“合格”定為10分,“不合格”定為5分.現(xiàn)隨機抽取部分學(xué)生的答卷,統(tǒng)計結(jié)果及對應(yīng)的頻率分布直方圖如圖所示:
等級 | 不合格 | 合格 | ||
得分 | ||||
頻數(shù) | 6 | 24 |
(1)求的值;
(2)用分層抽樣的方法,從評定等級為“合格”和“不合格”的學(xué)生中抽取10人進行座談,現(xiàn)再從這10人中任選4人,記所選4人的量化總分為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(3)設(shè)函數(shù)(其中表示的方差)是評估安全教育方案成效的一種模擬函數(shù).當(dāng)時,認定教育方案是有效的;否則認定教育方案應(yīng)需調(diào)整,試以此函數(shù)為參考依據(jù).在(2)的條件下,判斷該校是否應(yīng)調(diào)整安全教育方案?
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【題目】現(xiàn)需要設(shè)計一個倉庫,它由上下兩部分組成,上部分的形狀是正四棱錐,下部分的形狀是正四棱柱(如圖所示),并要求正四棱柱的高是正四棱錐的高的4倍.
(1)若則倉庫的容積是多少?
(2)若正四棱錐的側(cè)棱長為,則當(dāng)為多少時,倉庫的容積最大?
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系中,以坐標原點為極點,以軸正半軸為極軸,建立極坐標系,點的極坐標為,直線的極坐標方程為,且過點,曲線的參數(shù)方程為 (為參數(shù)).
(Ⅰ)求曲線上的點到直線的距離的最大值;
(Ⅱ)過點與直線平行的直線與曲線 交于兩點,求的值.
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【題目】[選修4-4:坐標系與參數(shù)方程]
在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點為極點, 軸的正半軸為極軸,以相同的長度單位建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(Ⅰ)求直線的極坐標方程和曲線的直角坐標方程;
(Ⅱ)已知,直線與曲線交于, 兩點,若,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地植被面積 (公頃)與當(dāng)?shù)貧鉁叵陆档亩葦?shù)()之間有如下的對應(yīng)數(shù)據(jù):
(公頃) | 20 | 40 | 50 | 60 | 80 |
() | 3 | 4 | 4 | 4 | 5 |
(1)請用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程;
(2)根據(jù)(1)中所求線性回歸方程,如果植被面積為200公頃,那么下降的氣溫大約是多少?
參考公式:用最小二乘法求線性回歸方程系數(shù)公式:,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知直線l:-y+3+=0和圓:++8x+F=0.若直線l被圓截得的弦長為.
(1)求圓的方程;
(2)設(shè)圓和x軸相交于A,B兩點,點P為圓上不同于A,B的任意一點,直線PA,PB交y軸于M,N兩點.當(dāng)點P變化時,以MN為直徑的圓是否經(jīng)過圓內(nèi)一定點?請證明你的結(jié)論;
(3)若△RST的頂點R在直線x=-1上,點S,T在圓上,且直線RS過圓心,∠SRT=,求點R的縱坐標的范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱中,點是線段上的動點.
(1)線段上是否存在點,使得平面?若存在,請寫出值,并證明此時,平面;若不存在,請說明理由;
(2)已知平面平面,求證:.
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