Question

已知函數f（x）=kx+m，當x∈[a₁，b₁]時，f（x）的值域為[a₂，b₂]，當x∈[a₂，b₂]時，f（x）的值域為[a₃，b₃]，…，依此類推，一般地，當x∈[a_n-1，b_n-1]時，f（x）的值域為[a_n，b_n]，其中k、m為常數，且a₁=0，b₁=1．
（1）若k=1，求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）若m=2，問是否存在常數k＞0，使得數列{b_n}滿足．若存在，求k的值；若不存在，請說明理由；
（3）若k＜0，設數列{a_n}，{b_n}的前n項和分別為S_n，T_n，求（T₁+T₂+…+T₂₀₁₀）-（S₁+S₂+…+S₂₀₁₀）．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為f（x）=x+m，當x∈[a_n-1，b_n-1]時，f（x）為單調增函數，所以其值域為[a_n-1+m，b_n-1+m]=[a_n，b_n]，從而發(fā)現數列
{a_n}，{b_n}均為等差數列，易得其通項公式
（2）因為f（x）=kx+2（k＞0），當x∈[a_n-1，b_n-1]時，f（x）為單調增函數，所以f（x）的值域為[ka_n-1+2，kb_n-1+2]
=[a_n，b_n]，所以b_n=kb_n-1+2（n≥2），再由極限的四則運算列方程可求出k
（3）因為k＜0，當x∈[a_n-1，b_n-1]時，f（x）為單調減函數，所以f（x）的值域為[kb_n-1+m，ka_n-1+m]
于是a_n=kb_n-1+m，b_n=ka_n-1+m（n∈N^*，n≥2）則b_n-a_n=-k（b_n-1-a_n-1），從而數列{b_n-a_n}為一個以1為首項，-k為公比的等比數列，進而得到此數列的前n項和Tn-Sn 公式，再求數列{Tn-Sn }的前n項和即可得所求解
解答：解：（1）因為f（x）=x+m，當x∈[a_n-1，b_n-1]時，f（x）為單調增函數，
所以其值域為[a_n-1+m，b_n-1+m]
于是a_n=a_n-1+m，b_n=b_n-1+m（n∈N^*，n≥2）
又a₁=0，b₁=1，所以a_n=（n-1）m，b_n=1+（n-1）m．
（2）因為f（x）=kx+m（k＞0），當x∈[a_n-1，b_n-1]時，f（x）為單調增函數
所以f（x）的值域為[ka_n-1+m，kb_n-1+m]，因m=2，則b_n=kb_n-1+2（n≥2）
假設存在常數k＞0，使得數列，
得符合．
故存在k=，使
（3）因為k＜0，當x∈[a_n-1，b_n-1]時，f（x）為單調減函數，
所以f（x）的值域為[kb_n-1+m，ka_n-1+m]
于是a_n=kb_n-1+m，b_n=ka_n-1+m（n∈N^*，n≥2）
則b_n-a_n=-k（b_n-1-a_n-1）
又b₁-a₁=1，∴b_n-a_n=（-k）^n-1
∴Tn-Sn=

進而有
點評：本題綜合考查了數列的通項公式，數列極限，數列求和等知識點，運算量較大，解題時要耐心細致，認真體會其中的思想方法