Question

9．已知圓C的圓心在直線3x+y-5=0上，并且經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)A（3，-1）．
（Ⅰ）求圓C的方程．
（Ⅱ）若直線l過點(diǎn)P（1，1）且截圓C所得的弦長為$\frac{{2\sqrt{21}}}{3}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)心為（x₀，5-3x₀），則${r^2}={x_0}^2+{（5-3{x_0}）^2}={（{x_0}-3）^2}+{（5-3{x_0}+1）^2}$，可得圓心和半徑，從而求得圓的方程．
（Ⅱ）分類討論，設(shè)出直線的方程，求出圓心到直線l的距離，利用勾股定理建立方程，即可求直線l的方程．

解答 解：（I）設(shè)圓心為（x₀，5-3x₀），則${r^2}={x_0}^2+{（5-3{x_0}）^2}={（{x_0}-3）^2}+{（5-3{x_0}+1）^2}$
解得${x_0}=\frac{5}{3}，r=\frac{5}{3}$，所以圓的方程：${（x-\frac{5}{3}）^2}+{y^2}=\frac{25}{9}$-----------------（3分）
（II）當(dāng)直線l垂直于x軸時，方程為x=1，交點(diǎn)為$（1，\frac{{\sqrt{21}}}{3}），（1，-\frac{{\sqrt{21}}}{3}）$，弦長為$\frac{{2\sqrt{21}}}{3}$
符合題意-----------------（4分）
當(dāng)直線l不垂直于x軸時，設(shè)方程為y-1=k（x-1），
由弦心距三角形得$\frac{{|\frac{5}{3}k+1-k|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{{{（\frac{5}{3}）}^2}-{{（\frac{{\sqrt{21}}}{3}）}^2}}$----------（6分）
解得$k=-\frac{5}{12}$，----------（7分）
所以方程為5x+12y-17=0，綜上l的方程為x=1或5x+12y-17=0----------（8分）

點(diǎn)評 本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，確定圓心坐標(biāo)與半徑是關(guān)鍵．