Question

【題目】已知點A（2，0），點B（﹣2，0），直線l：（λ+3）x+（λ﹣1）y﹣4λ=0（其中λ∈R）．
（1）求直線l所經(jīng)過的定點P的坐標；
（2）若直線l與線段AB有公共點，求λ的取值范圍；
（3）若分別過A，B且斜率為 的兩條平行直線截直線l所得線段的長為4 ，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，（λ+3）x+（λ﹣1）y﹣4λ=0（其中λ∈R），

則λ（x+y﹣4）+（3x﹣y）=0，

∵λ∈R，

∴ ，

解的 ，

∴直線l所經(jīng)過的定點P的坐標（1，3）

（2）解：∵點A（2，0），點B（﹣2，0），定點P的坐標（1，3）；

∴kPA= =﹣3，kPB= =1，

∵直線l與線段AB有公共點，

當λ=1時，直線x=1，與線段AB有公共點，

當λ≠1時，直線l的斜率k= ，

∴ ≥1或 ≤﹣3，

解的﹣1≤λ＜1，或1＜λ≤3，

綜上所述：λ的取值范圍為[﹣1，3]

（3）解：分別過A，B且斜率為 的兩條平行直線，分別為y= x+2 ，y= x﹣2 ，

由（1）知，l恒過點（1，3），

當斜率存在時，設直線l為y﹣3=k（x﹣1），由圖象易知，直線l的傾斜角為30°，即k= ，

∴過點p的直線l為y﹣3= （x﹣1），即 x﹣3y+9﹣ =0．

當直線l的斜率不存在時，由（1）可知直線過定點（1，3），則直線方程為x=1，

令x=1，可知y1=3 ，y2=﹣ ，|y1﹣y2|=4 ，符合題意，

綜上所述：直線l的方程為x=1或 x﹣3y+9﹣ =0

【解析】（1）由題意，（λ+3）x+（λ﹣1）y﹣4λ=0（其中λ∈R），由此可得方程組，從而可求定點的坐標；（2）求出A，B與定點的斜率，即可得到λ的取值范圍；（3）先求出過A，B且斜率為 的兩條平行直線，再分直線l的斜率存在和不存在兩種情況討論即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解一般式方程的相關知識，掌握直線的一般式方程：關于的二元一次方程（A，B不同時為0）．