Question

10．已知f（x）=x³-3x的值域為{-2，0，2}，則x的個數有7．

Answer 1

分析 求f′（x），根據導數符號即可判斷f（x）的單調性，從而可判斷出f（x）的極大值為f（-1）=2，極小值為f（1）=-2，這樣便可畫出f（x）的草圖，根據圖象得出f（x）和y=-2，y=0，和y=2的交點個數，從而得出x的個數．

解答 解：f′（x）=3x²-3；
∴x＜-1時，f′（x）＞0，-1＜x＜1時，f′（x）＜0，x＞1時，f′（x）＞0；
∴x=-1時f（x）取極大值2，x=1時，f（x）取極小值-2，f（0）=0；
∴f（x）的草圖如下：

由圖象可看出f（x）和直線y=2，及y=-2都有兩個交點，和y=0有三個交點；
∴使f（x）的值域為{-2，0，2}的x個數為7．
故答案為：7．

點評 考查函數值域的概念，函數導數符號和函數單調性的關系，以及函數極值的概念及求法，數形結合解題的方法，清楚曲線交點情況和曲線方程形成方程組解的關系．