Question

1．點A位于雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上，F(xiàn)₁F₂是它的兩個焦點，求△AF₁F₂的重心G的軌跡方程．

Answer 1

分析 設(shè)A（m，n），兩焦點的坐標(biāo)，△AF₁F₂的重心G為（x，y），由重心坐標(biāo)公式和代入法，即可得到所求軌跡方程．

解答 解：設(shè)A（m，n），則$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{n}^{2}}{^{2}}$=1，①
F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
設(shè)△AF₁F₂的重心G為（x，y），
則$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-c+c+m}{3}}\\{y=\frac{n}{3}}\end{array}\right.$，即為$\left\{\begin{array}{l}{m=3x}\\{n=3y}\end{array}\right.$，
代入①可得，$\frac{9{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{9{y}^{2}}{^{2}}$=1．
即有所求重心G的軌跡方程為$\frac{9{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{9{y}^{2}}{^{2}}$=1．

點評 本題考查雙曲線的方程和運用，考查三角形的重心坐標(biāo)的求法，以及求軌跡方程的方法：代入法，屬于中檔題．