Question

11．如圖，二面角α-l-β為60°，點(diǎn)A、B分別為平面α和平面β上的點(diǎn)，點(diǎn)A到l的距離為|AC|=4，點(diǎn)B到l的距離為|BD|=5，|CD|=6，求：
（1）A與B兩點(diǎn)間的距離|AB|；
（2）異面直線AB、CD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}$，能求出|AB|的值．
（2）在平面α內(nèi)作DE∥AC，過(guò)A作AE∥CD，交DE于點(diǎn)E，連結(jié)BE，由已知得ACDE是矩形，且AC=4，AE=6，從而∠BAE是異面直線AB、CD所成角（或所成角的補(bǔ)角），由此利用余弦定理能求出異面直線AB、CD所成角的正切值．

解答 解：（1）∵二面角α-l-β為60°，點(diǎn)A、B分別為平面α和平面β上的點(diǎn)，
點(diǎn)A到l的距離為|AC|=4，點(diǎn)B到l的距離為|BD|=5，|CD|=6，
∴$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}$，
∴${\overrightarrow{AB}}^{2}$=（$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}$）²
=${\overrightarrow{AC}}^{2}+{\overrightarrow{CD}}^{2}+{\overrightarrow{DB}}^{2}$+2$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{DB}$
=16+36+25+2×4×5×cos120°
=57，
∴|AB|=$\sqrt{57}$．
（2）在平面α內(nèi)作DE∥AC，過(guò)A作AE∥CD，交DE于點(diǎn)E，連結(jié)BE，
由已知得ACDE是矩形，且AC=4，AE=6，
∵CD∥AE，∴∠BAE是異面直線AB、CD所成角（或所成角的補(bǔ)角），
在△BDE中，BD=5，DE=AC=4，∠BDE=60°，
∴BE=$\sqrt{B{D}^{2}+D{E}^{2}-2×BD×DE×cos60°}$=$\sqrt{25+16-2×5×4×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{21}$，
∴cos∠BAE=$\frac{A{E}^{2}+A{B}^{2}-B{E}^{2}}{2×AE×AB}$=$\frac{36+57-21}{2×6×\sqrt{57}}$=$\frac{6\sqrt{57}}{57}$，
∴tan∠BAE=$\frac{\sqrt{21}}{6}$，
∴異面直線AB、CD所成角的正切值為$\frac{\sqrt{21}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間兩點(diǎn)間距離的求法，考查異面直線所成角的正切值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力和余弦定理的合理運(yùn)用．