Question

15．已知點O（0，0），A（0，b），B（a，a³），若△OAB為直角三角形，則必有（　�。�

• A． b=a³
• B． b=a³+$\frac{1}{a}$
• C． （b-a³）（b-a³-$\frac{1}{a}$）=0
• D． |b-a³|+|b-a³-$\frac{1}{a}$|=0

Answer 1

分析 根據(jù)△OAB為直角三角形，討論是OA⊥OB？還是OA⊥AB？OB⊥AB？
再利用平面向量的數(shù)量積，求出a、b的關(guān)系即可．

解答 解：∵點O（0，0），A（0，b），B（a，a³），
且△OAB為直角三角形，
∴當OA⊥OB時，$\overrightarrow{OA}$=（0，b），$\overrightarrow{OB}$=（a，a³），
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=ba³=0，∴b=0或a=0，此時不成立；
當OA⊥AB時，$\overrightarrow{OA}$=（0，b），$\overrightarrow{AB}$=（a，a³-b），
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{AB}$=b（a³-b）=0，∴b≠0且a³-b=0；
當OB⊥AB時，$\overrightarrow{AB}$=（a，a³-b），$\overrightarrow{OB}$=（a，a³），
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{OB}$=a²+a³（a³-b）=0，∴a≠0且$\frac{1}{a}$+a³-b=0；
綜上，a³-b=0或$\frac{1}{a}$+a³-b=0，
即（b-a³）（b-a³-$\frac{1}{a}$）=0．
故選：C．

點評 本題考查了平面向量的坐標運算問題，也考查了分類討論思想的應用問題，是綜合性題目．