Question

20．已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+5（a＞1）．
（1）若函數(shù)f（x）的定義域和值域均為[1，a]，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若f（x）在區(qū)間（-∞，2]，上是減函數(shù)，且對(duì)任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，總有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）確定函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，從而可得函數(shù)的單調(diào)性，利用f（x）的定義域和值域均是[1，a]，建立方程，即可求實(shí)數(shù)a的值．
（2）可以根據(jù)函數(shù)f（x）=x²-2ax+5=（x-a）²+5-a²．開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為x=a，可以推出a的范圍，利用函數(shù)的圖象求出[1，a+1]上的最值問(wèn)題，對(duì)任意的x∈[1，a+1]，總有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，從而求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²-2ax+5（a＞1），∴f（x）開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為x=a＞1，…（2分）
∴f（x）在[1，a]是單調(diào)減函數(shù)，…（6分）
∴f（x）的最大值為f（1）=6-2a；f（x）的最小值為f（a）=5-a²…（10分）
∴6-2a=a，且5-a²=1
∴a=2…（14分）
（2）函數(shù)f（x）=x²-2ax+5=（x-a）²+5-a²．開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為x=a，
∵f（x）在區(qū)間（-∞，2]上是減函數(shù)，對(duì)稱(chēng)軸大于等于2，
∴a≥2，a+1≥3，
f（x）在（1，a）上為減函數(shù)，在（a，a+1）上為增函數(shù)，
f（x）在x=a處取得最小值，f（x）_min=f（a）=5-a²，
f（x）在x=1處取得最大值，f（x）max=f（1）=6-2a，
∴5-a²≤f（x）≤6-2a，
∵對(duì)任意的x∈[1，a+1]，總有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，
∴6-2a-（5-a²）≤4，解得：-1≤a≤3；
綜上：2≤a≤3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的最值問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵，此題是一道函數(shù)的恒成立問(wèn)題，第二問(wèn)難度比較大，充分考查了函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸和二次函數(shù)的圖象問(wèn)題，是一道中檔題．