Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=x²-ax+b，a，b∈R．
（1）已知f（x）在區(qū)間（-∞，1）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（2）存在實(shí)數(shù)a，使得當(dāng)x∈[0，b]時(shí)，2≤f（x）≤6恒成立，求b的最大值及此時(shí)a的值．

Answer 1

分析 （1）利用對(duì)稱軸和單調(diào)區(qū)間的關(guān)系，即可求a的取值范圍；
（2）根據(jù)不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)的最值即可

解答 解：（1）∵函數(shù)的對(duì)稱軸為x=$\frac{a}{2}$，
∴要使f（x）在區(qū)間（-∞，1）上單調(diào)遞增，則滿足對(duì)稱軸x=$\frac{a}{2}$≤1，即a≤2．
（2）∵當(dāng)x∈[0，b]時(shí)，2≤f（x）≤6恒成立，
∴b＞0，
①若a≤0，則$\frac{a}{2}$≤1，此時(shí)f（x）在[0，b]上單調(diào)遞增，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{f（x）}_{min}=f（0）≥2}\\{{f（x）}_{max}=f（b）≤6}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{b≥2}\\{^{2}-ab+b≤6}\end{array}\right.$，
由b²-ab+b≤6得a≥b-$\frac{6}$，
∴a=0，此時(shí)$\left\{\begin{array}{l}{b≥2}\\{^{2}+b≤6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=2}\end{array}\right.$．
②若0＜$\frac{a}{2}$＜$\frac{2}$，即0＜a＜b，此時(shí)：$\left\{\begin{array}{l}{{f（x）}_{min}=f（\frac{a}{2}）≥2}\\{{f（x）}_{max}=f（b）≤6}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{b-\frac{{a}^{2}}{4}≥≥2}\\{^{2}-ab+b≤6}\end{array}\right.$，∴即$\left\{\begin{array}{l}{b≥2}\\{b-\frac{6}+1＜b}\end{array}\right.$，
∴2＜b＜6，
又b-$\frac{{a}^{2}}{4}$≥2，則a≤2$\sqrt{b-2}$，
∴b-$\frac{6}$+1≤2$\sqrt{b-2}$，
令h（x）=x-$\frac{6}{x}$+1，g（x）=2$\sqrt{x-2}$，
∴h（2）=g（2）=0，h（3）=g（3）=2，且h（x）與g（x）均在（2，6）上單調(diào)遞增，
當(dāng)2＜x＜3時(shí)，h（x）的圖象在g（x）圖象的下方，即此時(shí)h（x）＜g（x），
∴不等式b-$\frac{6}$+1≤2$\sqrt{b-2}$的解為2＜b≤3，
當(dāng)b=3時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{3-\frac{{a}^{2}}{4}≥2}\\{9-3a+3≤6}\\{0＜a＜3}\end{array}\right.$，解得a=2
③若0＜$\frac{a}{2}$=$\frac{2}$，即0＜a=b，此時(shí)$\left\{\begin{array}{l}{{f（x）}_{min}=f（\frac{a}{2}）≥2}\\{{f（x）}_{max}=f（0）≤6}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{b-\frac{{a}^{2}}{4}≥2}\\{b≤6}\\{0＜a＜3}\end{array}\right.$，此時(shí)不等式無(wú)解．
④若0＜$\frac{2}$＜$\frac{a}{2}$＜b，即0＜b＜a＜2b，
此時(shí)$\left\{\begin{array}{l}{{f（x）}_{min}=f（\frac{a}{2}）≥2}\\{{f（x）}_{max}=f（0）≤6}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{b-\frac{{a}^{2}}{4}≥2}\\{b≤6}\end{array}\right.$，
∴$\frac{{a}^{2}}{4}$+2＜a，a²-4a+8＜0此時(shí)不等式無(wú)解．
⑤若$\frac{a}{2}$≥b，即a≥2b，此時(shí)f（x）在[0，b]上單調(diào)遞減，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{f（x）}_{min}=f（b）≥2}\\{{f（x）}_{max}=f（0）≤6}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{^{2}-ab+b≥2}\\{b≤6}\\{a≥2b}\end{array}\right.$，
∴2b≤b-$\frac{2}$+1，
即b+$\frac{2}$≤1，而當(dāng)b＞0時(shí)，b+$\frac{2}$≥2$\sqrt{2}$＞1，
∴此時(shí)不等式無(wú)解．
綜上b的取值范圍是[2，3]，b的最大值是3，此時(shí)a=2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，難度不小．